ЯК визначити центр маси :: Природничі науки

Центр мас - найважливіша геометрична і технічна характеристика тіла. Без обчислення його координат неможливо уявити конструювання в машинобудуванні, рішення задач будівництва та архітектури. Точне визначення координат центру маси проводиться за допомогою інтегрального числення.

Інструкція

Починати завжди слід від простого, поступово переходячи до більш складних ситуацій. Виходите з того, що визначення підлягає центр маси безперервної плоскої фігури D, щільність якої? постійна і рівномірно розподілена в її межах. Аргумент х змінюється від а до b, y від c до d. Розбийте фігуру сіткою вертикальних (x = x (i-1), x = xi (i = 1,2, ..., n)) і горизонтальних прямих (y = y (j-1), y = xj (j = 1, 2 ..., m)) на елементарні прямокутники з підставами? хi = xi-x (i-1) і висотами? yj = yj-y (j-1) (див. рис. 1). При цьому середину елементарного відрізка? Хi знайдіть як? I = (1/2) [xi + x (i-1)], а висоту? Yj як? J = (1/2) [yj + y (j-1) ]. Оскільки щільність розподіляється рівномірно, то центр маси елементарного прямокутника співпаде з її геометричним центром. Тобто Хцi =? I, Yцi =? J.

Масу М плоскої фігури (якщо вона невідома), обчисліть як добуток щільності на площу. Замініть елементарну площу на ds =? Хi? Yj = dxdy. Уявіть? Mij у вигляді dM =? DS =? Dxdy і отримаєте її масу за формулою, наведеною на малюнку. 2a.Прі малих збільшеннях вважайте, що маса? Mij, зосереджена в матеріальній точці з координатами Хцi =? I, Yцi =? J. Із завдань механіки відомо, що кожна координата центру мас системи матеріальних точок дорівнює дробу, чисельник якої містить суму статичних моментів мас m? щодо відповідної осі, а знаменник дорівнює сумі цих мас. Статичний момент маси m ?, щодо осі 0х дорівнює у? * M ?, а щодо 0у х? * M ?.

Застосуйте це правило до ситуації, що розглядається і отримаєте приблизні значення статичних моментів Јх і Ју у вигляді Ју? {????? X ?? y?}, Јх? {????? X ?? y?} (Підсумовування вироблялося по ? від 1 до N). Вхідні останнім вираження суми є інтегральними. Перейдіть до меж від них при? Х?> 0? Y?> 0 і запишіть остаточні формули (див. Рис. 2b). Координати центру мас знаходите діленням відповідного статистичного моменту на загальну масу фігури М.

Методологія отримання координат центру мас просторової фігури G відрізняється лише тим, що виникають потрійні інтеграли, а статичні моменти розглядаються щодо координатних площин. Не слід забувати і що щільність не обов'язково постійна, то є? (X, y, z)? Const. Тому остаточний і самй загальна відповідь має вигляд (див. Рис. 3).