ЯК визначити центр ваги перерізу

У повсякденному сенсі центр ваги сприймають як точку, до якої можна прикласти рівнодіючу всіх сил, що діють на тіло. Найпростіший приклад - це дитячі гойдалки у вигляді звичайної дошки. Без всяких обчислень будь-яка дитина підбере опору дошки так, щоб врівноважити (а може, й переважити) на гойдалках важкого чоловіка. У разі складних тіл і перетинів без точних розрахунків і відповідних формул не обійтися. Навіть якщо виходять громіздкі вирази, головне - не лякатися їх, а пам'ятати, що початково мова йде про практично елементарної задачі.

Інструкція

Розгляньте найпростіший важіль (див. Рис 1), що знаходиться в положенні рівноваги. Розташуйте точку опори на горизонтальній осі з абсцисою х ?? і помістіть на краях матеріальні точки мас m? і m ?. Вважайте їх координати по осі 0х відомими і рівними х? і х ?. Важіль знаходиться в положенні рівноваги, якщо моменти сил ваги Р? = M? G і P? = M? G рівні. Момент дорівнює добутку сили на її плече, яке можна знайти як довжину перпендикуляра опущеного з точки прикладання сили на вертикаль х = х ??. Тому, відповідно до малюнком 1, m? G ?? = m? G ??, ?? = х ?? - х ?, ?? = х? -х ??. Тоді m? (Х ?? - х?) = M? (Х? -х ??). Вирішіть це рівняння і отримаєте х ?? = (m? X? + M? X?) / (M? + M?).

Для з'ясування ординати центра ваги y ?? застосуєте ті ж самі міркування і викладки, як і на кроці 1. Як і раніше дотримуйтесь ілюстрації, наведеної на малюнку 1, де m? gh? = m? gh ?, h? = y ?? - y ?, h? = y ? -y ??. Тоді m? (Y ?? - y?) = M? (Y? -y ??). Результат - у ?? = (m? У? + M? У?) / (M? + M?). Далі вважайте, що замість системи з двох точок є одна точка М ?? (x12, У12) загальної маси (m? + M?).

До системи з двох точок додайте ще одну масу (m?) З координатами (х ?, у?). При обчисленні слід як і раніше вважати, що маєте справу з двома точками, де друга з них має масу (m? + M?) І координати (x12, У12). Повторюючи вже для цих двох точок всі дії кроків 1 і 2, прийдете до координат центру ваги системи трьох точок x ??? = (m? X? + M? X? + M? X?) / (M? + M? + m?), у ??? = (m? у? + m? у? + m? y?) / (m? + m? + m?). Далі додавайте четверту, п'яту і так далі точки. Після багаторазового повторення все тієї ж процедури переконайтеся, що для системи n точок координати центру ваги обчислюються за формулою (див. Рис. 2). Відзначте для себе той факт, що в процесі роботи прискорення вільного падіння g скорочувалася. Тому координати центру мас і тяжкості збігаються.

Уявіть собі, що в перерізі розташована деяка область D, поверхнева щільність якої? = 1. Зверху і знизу фігура обмежена графіками кривих у =? (Х) і у =? (Х), х є [а, b]. Розбийте область D вертикалями x = x? I-1 ?, x = x? I? (I = 1,2, ..., n) на тонкі смужки, такі, що їх можна приблизно вважати прямокутниками з підставами? Хi (див. Рис. 3). При цьому середину відрізка? Хi вважайте покладіть збігається з абсцисою центру мас? I = (1/2) [xi + x (i-1)]. Висоту прямокутника вважайте приблизно рівною [? (? I) -? (? I)]. Тоді ордината центру мас елементарної площі? I = (1/2) [? (? I) +? (? I)].

В силу рівномірного розподілу щільності вважайте, що центр мас смужки співпаде з її геометричним центром. Відповідна елементарна маса? Mi =? [? (? I) -? (? I)]? Хi = [? (? I) -? (? I)]? Хi зосереджена в точці (? I,? I). Настав момент зворотного переходу від маси, представленої в дискретної формі, до безперервної. Відповідно до формулами обчислення координат (див. Рис. 2) центру ваги утворюються інтегральні суми, проілюстровані на малюнку 4а. При граничному переході при? Xi> 0 (? I> xi) від сум до певних интегралам, отримаєте остаточну відповідь (рис. 4b). У відповіді маса відсутня. Рівність S = M слід розуміти лише як кількісне. Розмірності тут відмінні один від одного.