ЯК знайти координати проекцій точок

Пара точок, одна з яких є проекцією іншого на площину, дозволяє скласти рівняння прямої, якщо відомо рівняння площині. Після цього задачу знаходження координат точки проекції можна звести до визначення точки перетину побудованої прямої і площини у загальному вигляді. Після отримання системи рівнянь в неї залишиться підставити значення координат вихідної точки.

Інструкція

Розгляньте пряму, що проходить через точку A? (X? -Y? -Z?), координати якої відомі з умов завдання, і її проекцію на площину A? (X? -Y? -Z?), координати якої потрібно визначити. Ця пряма повинна бути перпендикулярна площині, тому в якості направляючого вектора використовуйте нормальний до площини вектор. Площина задається рівнянням a * X + b * Y + c * Z - d = 0, значить, нормальний вектор можна позначити як a = {abc}. Виходячи з цього вектора і координат точки, складіть канонічні рівняння розглянутої прямий: (XX?) / A = (YY?) / B = (ZZ?) / C.

Знайдіть точку перетину прямої з площиною, записавши отримані в попередньому кроці рівняння в параметричній формі: X = a * t + X ?, Y = b * t + Y? і Z = c * t + Z ?. Ці вирази підставте у відоме з умов рівняння площини, щоб знайти таке значення параметра t ?, при якому пряма перетинає площину: a * (a * t? + X?) + b * (b * t? + Y?) + c * (c * t? + Z?) - d = 0Преобразуйте його так, щоб у лівій частині рівності залишилася тільки змінна t?: a? * t? + A * X? + B? * T? + B * Y? + C? * T? + C * Z? - D = 0a? * T? + B? * T? + C? * T? = D - a * X? - B * Y? - C * Z? T? * (A? + B? + C) = d - a * X? - B * Y? - C * Z? T? = (D - a * X? - B * Y? - C * Z?) / (A? + B? + C?)

Підставте отримане значення параметра для точки перетину в рівняння проекцій на кожну координатну вісь з другого кроку: X? = A * t? + X? = A * ((d - a * X? - B * Y? - C * Z?) / (A? + B? + C?)) + X? Y? = B * t? + Y? = B * ((d - a * X? - B * Y? - C * Z?) / (A? + B? + C?)) + Y? Z? = C * t? + Z? = C * ((d - a * X? - B * Y? - C * Z?) / (A? + B? + C?)) + Z? Розраховані за цими формулами величини і будуть значеннями абсциси, ординати і аппликати точки проекції. Наприклад, якщо вихідна точка A? задана координатами (1-2--1), а площину визначена формулою 3 * X-Y + 2 * Z-27 = 0, координати проекції цієї точки будуть рівні: X? = 3 * ((27 - 3 * 1 - (-1 * 2) - 2 * (- 1)) / (3? + (-1?) + 2?)) + 1 = 3 * 28/14 + 1 = 7Y? = -1 * ((27 - 3 * 1 - (-1 * 2) - 2 * (- 1)) / (3? + (-1?) + 2?)) + 2 = -1 * 28/14 + 2 = 0Z? = 2 * ((27 - 3 * 1 - (-1 * 2) - 2 * (- 1)) / (3? + (-1?) + 2?)) + (-1) = 2 * 28 / 14 - 1 = 3Значіт, координати точки проекції A? (7-0-3).