ЯК обчислити кут між прямою і площиною

Пряма і площина - основні поняття геометрії. Ці двомірна і тривимірна фігури, які є основами для побудови будь-яких плоских і просторових конструкцій. Завжди можна обчислити кут між прямою і площиною по їх рівняннях.

Інструкція

Пряма і площина - два взаємопов'язаних геометричних поняття. Через будь-які дві точки площини можна провести пряму лінію, що складається з її ж точок. А будь-яка пряма належить якій-небудь площині. Будь-яка фігура в геометрії - сукупність пересічних ліній і обмежених ними ділянок поверхні, від найпростіших трикутника та кола до нестандартних опуклих багатокутників і призм.

Для кожної прямої в просторі можна знайти проекцію на деяку площину. Таким чином, можна обчислити кут між ними, як суміжний до кута, утвореного векторами напрямки і нормалі. Наприклад, нехай задано канонічне рівняння прямої L і загальне рівняння площини P:

L: (х - х0) / p = (у - у0) / r = (z - z0) / s;
P: А • х + B • у + С • z + D = 0.

Коефіцієнти цих рівнянь - координати вектора напряму прямий і вектора нормалі для площині. Тоді завдання визначення кута між прямою лінією і її проекцією зводиться до пошуку суміжного кута між цими векторами. Суміжний кут в даній ситуації становить в сумі з шуканим 90 ° або? / 2. Знайдіть косинус кута (? / 2 -?) За відомою формулою:

cos (? / 2 -?) = sin? = | P • А + r • B + s • C | / (v (p? + R? + S?) • v (А? + B? + C?)).

Окремі випадки, коли цей кут дорівнює 90 ° або 180 °, є доказом їх перпендикулярності або паралельності. Тоді:

• якщо А / p = B / r = С / s - пряма перпендикулярна площині;
• якщо А • р + B • r + С • s = 0 - пряма паралельна площині.

Приклад: знайти кут між прямою (х - 1) / 4 = (у + 3) / - 2 = (z - 8) / 1 і площиною 5 • х + 3 • у - 4 • z = 0.

Рішення

Випишіть координати вектора напряму прямій - (4, -2, 1) і нормального вектора площини - (5, 3, -4). Підставте всі значення у формулу синуса кута:

sin? = | 20 - 6 - 4 | / (v (16 + 4 + 1) • v (25 + 9 + 16))? 0,3.

Обчисліть арксинус вийшла величини, щоб визначити шуканий кут?:

? = Аrсsin 0,3? 17,46 °.