ЯК знайти відстань між двома паралельними площинами

Існує кілька способів завдання площини: загальне рівняння, направляючі косинуси вектора нормалі, рівняння у відрізках та ін. Використовуючи елементи конкретної записи, можна знайти відстань між площинами.

Інструкція

Площина в геометрії можна визначити по-різному. Наприклад, це поверхня, будь-які дві точки якої з'єднує пряма, яка також складається з точок площини. За іншим визначенням, це безліч точок, що знаходяться на рівному віддаленні від будь-яких двох заданих, які не належать їй.

Площину - найпростіше поняття стереометрії, що означає плоску фігуру, необмежено спрямовану на всі боки. Ознака паралельності двох площин полягає у відсутності перетинів, тобто дві задані просторові фігури не мають спільних точок. Друга ознака: якщо одна площина паралельна пересічним прямим, що належить іншій, то ці площини паралельні.

Щоб знайти відстань між двома паралельними площинами, потрібно визначити довжину відрізка, перпендикулярного ім. Кінцями цього відрізка є точки, що належать кожній площині. Крім того, нормальні вектора також паралельні, а значить, якщо площині задані загальним рівнянням, то необхідною і достатньою ознакою їх паралельності буде рівність відносин координат нормалей.

Отже, нехай задані площини A1 • х + B1 • у + C1 • z + D1 = 0 і A2 • х + B2 • у + C2 • z + D2 = 0, де Ai, Bi, Ci - координати нормалей, а D1 і D2 - відстані від точки перетину координатних осей. Площині паралельні, якщо: A1 / A2 = B1 / B2 = C1 / C2, а відстань між ними можна знайти за формулою: d = | D2 - D1 | / v (| A1 • A2 | + B1 • B2 + C1 • C2).

Приклад: дано дві площини х + 4 • у - 2 • z + 14 = 0 і -2 • х - 8 • у + 4 • z + 21 = 0. Визначити, паралельні вони. Якщо так, то знайти відстань між ними.

Решеніе.A1 / A2 = B1 / B2 = C1 / C2 = -1/2 - площині паралельні. Зверніть увагу на присутність коефіцієнта -2. Якщо D1 і D2 співвідносяться один з одним з тим же коефіцієнтом, то площини збігаються. У нашому випадку це не так, оскільки 21 • (-2)? 14, отже, можна знайти відстань між площинами.

Розділіть для зручності друге рівняння на величину коефіцієнта -2: х + 4 • у - 2 • z + 14 = 0-х + 4 • у - 2 • z - 21/2 = 0.Тогда формула прийме вигляд: d = | D2 - D1 | / v (A? + B? + C?) = | 14 + 21/2 | / v (1 + 16 + 4)? 5,35.