ЯК знайти відстань між прямими в просторі

Щоб обчислити відстань між прямими в тривимірному просторі, потрібно визначити довжину відрізка, що належить площині, перпендикулярній їм обом. Подібний розрахунок має сенс, якщо вони схрещуються, тобто знаходяться у двох паралельних площинах.

Інструкція

Геометрія - це наука, яка знаходить застосування в багатьох сферах життя. Немислимо було б спроектувати і побудувати древні, старовинні і сучасні будівлі без її методів. Однією з найпростіших геометричних фігур є пряма. Сукупність декількох таких фігур утворює просторові поверхні в залежності від їх взаєморозташування.

Зокрема, прямі, що знаходяться в різних паралельних площинах, можуть схрещуватися. Відстань, на якому вони знаходяться один від одного, можна представити у вигляді перпендикулярного відрізка, що лежить у відповідній площині. Кінцями цього обмеженого ділянки прямої будуть проекції двох точок перехресних прямих на його площину.

Можна знайти відстань між прямими в просторі як відстань між площинами. Таким чином, якщо вони задані рівняннями загального вигляду:
?: A • х + B • у + C • z + F = 0,
?: A2 • х + B2 • у + C2 • z + G = 0, то відстань визначається за формулою:
d = | F - G | / v (| А • А2 | + | В • В2 | + | С • С2 |).

Коефіцієнти A, A2, B, B2, C і C2 є координатами векторів нормалі цих площин. Оскільки перехресні прямі лежать в паралельних площинах, то ці величини повинні співвідноситися один з одним в такій пропорції:

A / A2 = B / B2 = C / C2, тобто вони або попарно рівні або розрізняються на один і той же множник.

Приклад: нехай дано дві площини 2 • х + 4 • у - 3 • z + 10 = 0 і -3 • х - 6 • у + 4,5 • z - 7 = 0, що містять перехресні прямі L1 і L2. Знайдіть відстань між ними.
Рішення.
Ці площини паралельні, тому що вектори їх нормалей колінеарні. Про це говорить рівність:
2 / -3 = 4 / -6 = -3 / 4,5 = -2/3, де -2/3 - множник.

Розділіть перше рівняння на цей множник:
-3 • х - 6 • у + 4,5 • z - 15 = 0.
Тоді формула відстані між прямими перетвориться в такий вигляд:
d = | F - G | / v (A? + B? + C?) = 8 / v (9 + 36 + 81/4)? 1.