ЯК знайти рівняння перпендикулярної прямої

В декартовій системі координат всяка пряма може бути записана у вигляді лінійного рівняння. Розрізняють загальний, канонічний і параметричний способи завдання прямий, кожен з яких передбачає свої умови перпендикулярності.

Інструкція

Нехай дві прямі в просторі задані канонічними рівняннями: (x-x1) / q1 = (y-y1) / w1 = (z-z1) / e1- (x-x2) / q2 = (y-y2) / w2 = ( z-z2) / e2.

Числа q, w і e, представлені в знаменниках, є координатами напрямних векторів до цих прямим. Напрямних називають такий ненульовий вектор, який лежить на даній прямий або паралельний їй.

Косинус кута між прямими має формулу: cos? = ± (q1 · q2 + w1 · w2 + e1 · e2) / v [(q1)? + (W1)? + (E1)?] · [(Q2)? + (W2)? + (E2)?].

Прямі, задані канонічними рівняннями, взаємно перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли їх направляючі вектори ортогональні. Тобто, кут між прямими (він же - кут між напрямними векторами) дорівнює 90 °. Косинус кута в цьому випадку звертається в нуль. Оскільки косинус виражений дробом, то його рівність нулю еквівалентно нульового знаменника. У координатах це запишеться так: q1 · q2 + w1 · w2 + e1 · e2 = 0.

Для прямих на площині ланцюжок міркувань виглядає аналогічно, але умова перпендикулярності запишеться трохи більше спрощено: q1 · q2 + w1 · w2 = 0, тому третя координата відсутня.

Нехай тепер прямі задані загальними рівняннями: J1 · x + K1 · y + L1 · z = 0-J2 · x + K2 · y + L2 · z = 0.

Тут коефіцієнти J, K, L - це координати нормальних векторів. Нормаль - це одиничний вектор, перпендикулярний до прямий.

Косинус кута між прямими тепер запишеться в такому вигляді: cos? = (J1 · J2 + K1 · K2 + L1 · L2) / v [(J1)? + (K1)? + (L1)?] · [(J2)? + (K2)? + (L2)?].

Прямі взаємно перпендикулярні в тому випадку, якщо нормальні вектори ортогональні. В векторному вигляді, відповідно, ця умова виглядає так: J1 · J2 + K1 · K2 + L1 · L2 = 0.

Прямі на площині, задані загальними рівняннями, перпендикулярні, коли J1 · J2 + K1 · K2 = 0.