ЯК обчислити площу паралелограма, побудованого на векторах

На будь-яких двох неколінеарних і ненульових векторах можна побудувати паралелограм. Ці два вектори будуть стягувати паралелограм, якщо поєднати їх початку в одній точці. Добудуйте боку фігури.

Інструкція

Знайдіть довжини векторів, якщо задані їх координати. Нехай, наприклад, вектор A має координати (a1, a2) на площині. Тоді довжина вектора A дорівнює | A | = v (a1? + A2?). Аналогічно знаходиться модуль вектора B: | B | = v (b1? + B2?), Де b1 і b2 - координати вектора B на площині.

Площа паралелограма знаходиться за формулою S = | A | • | B | • sin (A ^ B), де A ^ B - кут між заданими векторами A і B. Синус можна знайти через косинус, використовуючи основне тригонометричну тотожність: sin ?? + cos? ? = 1. Косинус ж можна виразити через скалярний добуток векторів, записане в координатах.

Скалярний добуток вектора A на вектор B позначається як (A, B). За визначенням, воно дорівнює (A, B) = | A | • | B | • cos (A ^ B). А в координатах скалярний твір записується так: (A, B) = a1 • b1 + a2 • b2. Звідси можна виразити косинус кута між векторами: cos (A ^ B) = (A, B) / | A | • | B | = (a1 • b1 + a2 • b2) / v (a1? + A2?) • v ( a2? + b2?). У чисельнику - скалярний твір, в знаменнику - довжини векторів.

Тепер можна виразити синус з основного тригонометричного тотожності: sin ?? = 1-cos ??, sin? = ± v (1-cos ??). Якщо припустити, що кут? між векторами - гострий, «мінус» при синусі можна відкинути, залишивши тільки знак «плюс», оскільки синус гострого кута може бути тільки позитивним (або нульовим при нульовому вугіллі, але тут кут ненульовий, це відображається в умові неколінеарності векторів).

Тепер треба підставити координатне вираз для косинуса в формулу синуса. Після цього залишиться лише записати результат у формулу площі паралелограма. Якщо все це виконати і спростити числове вираження, то вийде, що S = a1 • b2-a2 • b1. Таким чином, площа паралелограма, побудованого на векторах A (a1, a2) і B (b1, b2), знаходиться за формулою S = a1 • b2-a2 • b1.

Отриманий вираз є детермінантою матриці, складеної з координат векторів A і B: a1 a2b1 b2.

Дійсно, щоб отримати визначник матриці розмірності два, потрібно перемножити елементи головної діагоналі (a1, b2) і відняти з цього твір елементів побічної діагоналі (a2, b1).