ЯК визначити кут між двома прямими

Пряма в просторі задається канонічним рівнянням, що містить координати її напрямних векторів. Виходячи з цього, визначити кут між прямими можна за формулою косинуса кута, утвореного векторами.

Інструкція

Визначити кут між двома прямими в просторі можна, навіть якщо вони не перетинаються. У цьому випадку потрібно подумки поєднати початку їх напрямних векторів і обчислити величину отриманого кута. Іншими словами, це будь-який з суміжних кутів, утворених перехресними прямими, проведеними паралельно даними.

Існує кілька способів завдання прямої в просторі, наприклад, векторно-параметричний, параметричний і канонічний. Три згаданих методу зручно використовувати при знаходженні кута, тому всі вони припускають введення координат направляючих векторів. Знаючи ці величини, можна визначити освічена кут по теоремі косинусів з векторної алгебри.

Припустимо, дві прямі L1 і L2 задані канонічними рівняннями: L1: (x - x1) / k1 = (y - y1) / l1 = (z - z1) / n1-L2: (x - x2) / k2 = (y - y2) / l2 = (z - z2) / n2.

Використовуючи величини ki, li і ni, запишіть координати напрямних векторів прямих. Назвіть їх N1 і N2: N1 = (k1, l1, n1) -N2 = (k2, l2, n2).

Формула для косинуса кута між векторами являє собою співвідношення між їх скалярним твором і результатом арифметичного множення їх довжин (модулів).

Визначте скалярний добуток векторів як суму добутків їх абсцис, ординат і аплікат: N1 • N2 = k1 • k2 + l1 • l2 + n1 • n2.

Обчисліть квадратні корені із сум квадратів координат, щоб визначити модулі напрямних векторів: | N1 | = v (k1? + L1? + N1?) - | N2 | = v (k2? + L2? + N2?).

Використовуйте всі отримані вирази, щоб записати загальну формулу косинуса кута N1N2: cos (N1N2) = (k1 • k2 + l1 • l2 + n1 • n2) / (v (k1? + L1? + N1?) • v (k2? + l2? + n2?)). Щоб знайти величину самого кута, порахуйте arccos від цього виразу.

Приклад: визначити кут між заданими прямими: L1: (x - 4) / 1 = (y + 1) / (- 4) = z / 1-L2: x / 2 = (y - 3) / (- 2) = (z + 4) / ( -1).

Рішення: N1 = (1, -4, 1) - N2 = (2, -2, -1) .N1 • N2 = 2 + 8 - 1 = 9- | N1 | • | N2 | = 9 • v2.cos (N1N2) = 1 / v2> N1N2 =? / 4.