ЯК довести, що вектора утворюють базис

Базисом в n-вимірному просторі називається така система з n векторів, коли всі інші вектори простору можна представити у вигляді комбінації векторів, що входять в базис. У тривимірному просторі в будь базис входять три вектора. Але не будь-які три утворюють базис, тому й існує задача перевірки системи векторів на можливість побудови з них базису.

Вам знадобиться

- вміння обчислювати визначник матриці

Інструкція

Нехай в лінійному n-вимірному просторі існує система векторів e1, е2, е3, ..., еn. Їх координати: e1 = (e11- e21- e31- ... - en1), е2 = (е12- е22- е32- ... - еn2), ..., еn = (e1n- e2n- e3n- .. . - enn). Щоб дізнатися, чи утворюють вони базис в цьому просторі, складіть матрицю зі стовпцями e1, е2, е3, ..., еn. Знайдіть її визначник і порівняйте його з нулем. Якщо визначник матриці з цих векторів не дорівнює нулю, то такі вектори утворюють базис в даному n-вимірному лінійному просторі.

Наприклад, нехай дано три вектора в тривимірному просторі a1, a2 і a3. Їх координати: а1 = (3- 1- 4), а2 = (-4- 2- 3) і а3 = (2- -1- -2). Треба з'ясувати, чи утворюють ці вектора базис в тривимірному просторі. Складіть матрицю з векторів, як показано на малюнку.

Обчисліть визначник отриманої матриці. На малюнку показаний простий спосіб обчислення визначника матриці 3 на 3. Елементи, з'єднані лінією, слід перемножити. При цьому твори, позначені червоною лінією входять в загальну суму зі знаком "+", а з'єднані синьою лінією - зі знаком "-". det A = 3 * 2 * (- 2) + 1 * 2 * 3 + 4 * (- 4) * (- 1) - 2 * 2 * 4 - 1 * (- 4) * (- 2) - 3 * 3 * (- 1) = -12 + 6 + 16 - 16 - 8 + 9 = -5 -5ne-0, отже, а1, а2 і а3 утворюють базис.