ЯК знайти базис системи векторів

Будь упорядкована сукупність n лінійно незалежних векторів e ?, e ?, ..., en лінійного простору Х розмірності n називається базисом цього простору. У просторі R? базис утворюють, наприклад, вектори І, j k. Якщо x ?, x ?, ..., xn - елементи лінійного простору, то вираз ?? x? + ?? X? + ... +? Nxn називається лінійною комбінацією цих елементів.

Інструкція

Відповідь на питання про вибір базису лінійного простору можна подивитися в першому наведеному джерелі додаткових відомостей. В першу чергу слід запам'ятати, що універсальної відповіді немає. Систему векторів можна підібрати і потім довести, що вона придатна до використання в якості базису. Алгоритмічно цього зробити не можна. Тому найвідоміші базиси з'являлися в науці не настільки часто.

Довільний лінійний простір не так багато властивостями, як простір R ?. Крім операцій додавання векторів і множення вектора на число в R? можна проводити вимірювання довжин векторів, кутів між ними, а також обчислювати відстані між об'єктами простору, площі, об'єми. Якщо на довільне лінійне простір накласти додаткову структуру (x, y) = x? Y? + X? Y? + ... + Xnyn, яка називається скалярним добутком векторів x і у, то воно називатиметься евклідовим (Е). Саме такі простору і являють практичну цінність.

Рухаючись аналогій простору Е ?, вводиться поняття ортогональності в довільному по розмірності базисі. Якщо скалярний добуток векторів х і у (х, у) = 0, то ці вектори ортогональні.

В С [a, b] (так позначається простір неперервних на [a, b] функцій) скалярний добуток функцій обчислюється за допомогою визначеного інтеграла від їх твори. Пі цьому функції ортогональні на [a, b], якщо? [A, b]? І (t)? Ј (t) dt = 0, i? J (формула дубльована на рис. 1а). Ортогональна система векторів є лінійно незалежною.

Введені в розгляд функції призводять до лінійних функціональним просторам. Вважайте їх ортогональними. У загальному випадку такі простору є нескінченновимірними. Розгляньте розкладання по ортогональному базису e? (T), e? (T), e? (T), ... вектора (функції) х (t) евклидова функціонального простору (див. Рис. 1b). Для знаходження коефіцієнтів? (Координат вектора х), обидві частини першої на рис. 1b формули були скалярно помножені на вектор е ?. Вони називаються коефіцієнтами Фур'є. Якщо остаточну відповідь представити у вигляді виразу, наведеного на рис. 1в, то вийде функціональний ряд Фур'є за системою ортогональних функцій.

Розгляньте систему тригонометричних функцій 1, sint, cost, sin2t, cos2t, ..., sinnt, cosnt, ... Переконайтеся в тому, що ця система ортогональна на [- ?,?]. Це можна зробити простий перевіркою. Тому в просторі C [- ?,?] Тригонометрическая система функцій є ортогональним базисом. Тригонометричний ряд Фур'є складає основу теорії спектрів радіотехнічних сигналів.