ЯК виразити через базис вектор

Будь впорядкована система n лінійно незалежних векторів простору R ^ n називається базисом цього простору. Будь вектор простору можна розкласти по базисних векторах, причому єдиним чином. Тому при відповіді на поставлене питання спочатку слід обгрунтувати лінійну незалежність можливого базису і лише після цього шукати розкладання в ньому якогось вектора.

Інструкція

Обґрунтувати лінійну незалежність системи векторів дуже просто. Складіть визначник, рядки якого складаються з їх «координат», і обчисліть його. Якщо цей визначник відмінний від нуля, то і вектори лінійно незалежні. Не забувайте, що розмірність визначника може бути досить великою, і знаходити його доведеться розкладанням по рядку (стовпцю). Тому застосовуйте попередні лінійні перетворення (краще тільки рядків). Оптимальний випадок - це доведення визначника до трикутного виду.

Наприклад, для системи векторів е1 = (1, 2, 3), e2 = (2, 3, 2), e3 (4, 8, 6) відповідний визначник і його перетворення представлені на малюнку 1. Тут на першому кроці перший рядок множилася на два і віднімалася з другий. Потім вона множилася вона на чотири і віднімалася з третьої. На другому кроці другий рядок складалася з третього. Так як відповідь відмінний від нуля, то задана система векторів лінійно незалежна.

Тепер слід перейти до задачі розкладання вектора по базису в R ^ n. Нехай базисні векториe1 = (e1, e21, ..., en1), e2 = (e21, e22, ..., en2), ..., en = (en1, en2, ..., enn), а вектор x заданий координатами в якому-небудь іншому базисі того ж простору R ^ nx = (x1, x2, ..., xn). При цьому його можна представити у вигляді х = a1e1 + a2e2 + ... + anen, де (a1, a2, ..., an) коефіцієнти шуканого розкладання х по базису (e1, e2, ..., en).

Останню лінійну комбінацію перепишіть докладніше, підставляючи замість векторів відповідні набори чисел: (x1, x2, ..., xn) = a1 (e11, e12, .., e1n) + a2 (e21, e22, .., e2n) + ... + an (en1, en2, .., enn ). Отримане перепишіть у вигляді системи n лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими (a1, a2, ..., an) (див. Рис. 2). Так як вектори базису лінійно незалежні, то система має єдине рішення (a1, a2, ..., an). Розкладання вектора за заданим базису знайдено.