ЯК знайти власні вектори і власні значення для матриць

При розгляді даного питання слід запам'ятати, що всі використовувані об'єкти - це вектори, причому n-мірні. При їх записи не використовуються ніякі відмітні ознаки, відповідні класичним векторах.

Інструкція

Число k називають власним значенням (числом) матриці А, якщо існує вектор х такий, чтоAx = kx. (1) При цьому вектор х називається власним вектором матриці А, відповідним числу k.В просторі R ^ n (див. Рис.1) матриця А має вигляд як на малюнку.

Необхідно поставити завдання знаходження власних чисел і векторів матриці А. Нехай власний вектор x заданий координатами. У матричної формі він запишеться матрицею-стовпцем, який для зручності слід представити транспонованою рядком. X = (x1, x2, ..., xn) ^ T.Ісходя з (1), Aх-KХ = 0 або Aх-kEх = 0, де E - одинична матриця (одиниці розташовані на головне діагоналі, все інше елементи - нулі) . Тоді (А-kE) х = 0. (2)

Вираз (2) є системою лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь, яка має ненульове рішення (власний вектор). Тому головний визначник системи (2) дорівнює нулю, тобто | А-kE | = 0. (3) Остання рівність щодо власного значення k називається характеристичним рівнянням матриці А і в розгорнутому вигляді має вигляд (див. Рис.2).

Це рівняння алгебри n-го ступеня. Дійсні корені характеристичного рівняння є власними числами (значеннями) матриці А.

Підставляючи корінь k характеристичного рівняння в систему (2), отримують однорідну систему лінійних рівнянь з виродженої матрицею (її визначник дорівнює нулю). Кожне ненульове рішення цієї системи являє собою власний вектор матриці А, який відповідає цьому власному числу k (тобто корені характеристичного рівняння).

Приклад. Знайти власні значення та вектори матриці А (див. Рис 3) .Рішення. Характеристичне рівняння представлено на рис. 3. Розкрийте визначник і знайдіть власні числа матриці, які є країнами даного рівняння (3-k) (- 1-k) -5 = 0, (k-3) (k + 1) -5 = 0, k ^ 2 2k-8 = 0.Его коріння k1 = 4, k2 = -2

а) Власні вектори, що відповідають k1 = 4, знаходяться, через рішення системи (A-4kE) х = 0. При цьому потрібно всього одне її рівняння, так як визначник системи свідомо дорівнює нулю. Якщо покласти х = (x1, x2) ^ T, то перше рівняння системи (1-4) x1 + x2 = 0, -3x1 + x2 = 0. Якщо припустити, що х1 = 1 (тільки не нуль), то х2 = 3. Так як ненульових рішень у однорідної системи з виродженої матрицею як завгодно багато, то все безліч власних векторів, відповідних першому власному числу х = С1 (1, 3), C1 = const.

б) Знайдіть власні вектори, відповідні k2 = -2. При вирішенні системи (A + 2kE) х = 0, її перше рівняння (3 + 2) х1 + х2 = 0, 5х1 + х2 = 0.Еслі покласти х1 = 1, то х2 = -5. Відповідні власні вектори х = С2 (1, 3), C2 = const.Общее безліч всіх власних векторів заданої матриці: х = С1 (1, 3) + С2 (1, 3).