ЯК довести сумісність системи лінійних рівнянь

Одне із завдань вищої математики - доказ сумісності системи лінійних рівнянь. Доказ необхідно проводити по теоремі Кронкера-Капеллі, згідно з якою система сумісна, якщо ранг її основної матриці дорівнює рангу розширеної матриці.

Інструкція

Запишіть основну матрицю системи. Для цього наведіть рівняння в стандартний вид (тобто виставте всі коефіцієнти в одному і тому ж порядку, якщо якого або з них немає - запишіть, просто з числовим коефіцієнтом «0»). Випишіть всі коефіцієнти у вигляді таблиці, укладіть її в дужки (вільні члени, перенесені в праву частину, не враховуйте).

Точно також запишіть розширену матрицю системи, тільки в цьому випадку поставте праворуч вертикальну риску і запишіть стовпчик вільних членів.

Порахуйте ранг основної матриці, це найбільший ненульовий мінор. Мінор першого порядку - це будь-яка цифра матриці, очевидно, що вона не дорівнює нулю. Щоб порахувати мінор другого порядку, візьміть будь-які два рядки і будь-які два стовпці (у вас вийде таблиця з чотирьох цифр). Порахуйте визначник, помножте верхнє ліве число на нижнє праве, відніміть з отриманого числа твір нижнього лівого і верхнього правого. У вас вийшов мінор другого порядку.

Складніше порахувати мінор третього порядку. Для цього візьміть будь-які три рядки і три стовпці, у вас вийде таблиця з дев'яти чисел. Порахуйте визначник за формулою:? = А11а22а33 + а12а23а31 + а21а32а13-а31а22а13-а12а21а33-а11а23а32 (перша цифра коефіцієнта - номер рядка, друга цифра - номер стовпчика). Ви отримали мінор третього порядку.

Якщо у вашій системі чотири або більше рівнянь, порахуйте також мінори четвертого (п'ятого і т.д.) порядків. Виберіть самий великий, не рівний нулю мінор - це і буде ранг основної матриці.

Точно так же знайдіть ранг розширеної матриці. Зверніть увагу, якщо кількість рівнянь у вашій системі збігається з рангом (наприклад, три рівняння, і ранг дорівнює 3), розраховувати ранг розширеної матриці немає сенсу - очевидно, що він також буде дорівнює цьому числу. У такому випадку можна сміливо робити висновок про те, що система лінійних рівнянь сумісна.