Як вирішити систему лінійних рівнянь

Система т лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими має вигляд (див. Рис. 1).




У ній аij - коефіцієнти системи, хj - невідомі, bi - вільні члени (i = 1, 2, ..., т-j = 1, 2, ..., п). Практичний сенс така система має в тому випадку, коли число її рівнянь не перевищує число невідомих, тобто при m? N. Справа в тому, що в іншому випадку «зайві» рівняння повинні бути лінійною комбінацією інших. Це означає, що вони їх просто повторюють. Якщо ні, то і рішення не існує (система не сумісна).

Компактно таку систему можна записувати в матричної формі АХ = B. Тут А - матриця коефіцієнтів системи, Х - матриця- стовпець невідомих, B - матриця-стовпець вільних членів (див. Рис 2). Якщо m = n, тобто Тобто кількість невідомих і число рівнянь однаково, то матриця А квадратна. Тому для неї визначено поняття визначника матриці? = | A |. При | A |? 0 існує зворотна матриця A ??. Її визначення базується на рівності АA ?? = A ?? A = E (E - одинична матриця). Формула для обчислення зворотної матриці також присутній на малюнку 2. Слід лише додати, що елементи Aij приєднаної матриці A, звані алгебраїчними доповненнями елементів aij матриці А обчислюються наступним чином. Візьміть визначник | A | і викресліть із нього рядок і стовпець, на якому знаходиться елемент aij. Решта коефіцієнти запишіть у вигляді нового визначника, який помножте на (-1), якщо i + j НЕ парне. Відповідне число дорівнює Aij. Алгебраїчні доповнення записуються за стовпцями приєднаної матриці.

Знайдіть рішення системи матричних способом. Для цього обидві частини системи AX = B помножте на A ?? зліва. Отримайте (A ?? A) X = A ?? B, EX = A ?? B або X = A ?? B. Всі подробиці проілюстровані на рис. 3. На цьому ж малюнку наведена формула обчислення визначника коефіцієнтів Розкладанням по i-му стовпцю А. Згадані подробиці приводять до висновку про те, що при вирішенні систем великої розмірності матричним способом краще не користуватися. Можна просто «потонути» в обчисленнях величезного числа алгебраїчних доповнень (якщо не створювати відповідні програми). Виправданий це метод, мабуть, лише для систем другого порядку, так як для визначника цього порядку А ?? = а ??, А ?? = - а ??, А ?? = - а ??, А ?? = а? ?. Це легко запам'ятати. А ось далі ... В іншому, це вже на любителя.

Настала пора самого, мабуть, відомого і гранично простого методу Крамера. Придивіться уважніше до вираження для визначення невідомої xi на попередньому кроці. Що вийде, якщо замість елементів стовпця B, поставити елементи i-го шпальти матриці коефіцієнтів А (для наочності це було відображено на малюнку 3). Вийде теорема розкладання для обчислення визначника | A | =? по i-му стовпцю матриці А. Тому xi =? i / ?. Визначник? матриці коефіцієнтів називають головним, а? i допоміжним. Для кожної невідомої допоміжний визначник знаходять за допомогою заміни i-го шпальти головного визначника на стовпець вільних членів. Детально метод Крамера для випадку системи третього порядку представлений на малюнку 4.