ЯК вирішувати за формулою Крамера

Метод Крамера являє собою алгоритм, що дозволяє вирішити систему лінійних рівнянь за допомогою матриці. Автор методу - Габріель Крамер, який жив у першій половині XVIII століття.

Інструкція

Нехай задана деяка система лінійних рівнянь. Її необхідно записати в матричному вигляді. В основну матрицю підуть коефіцієнти перед змінними. Для запису додаткових матриць потрібні будуть і вільні члени, що розташовуються звичайно праворуч від знаку рівності.

У кожної з змінних має бути свій «порядковий номер». Приміром, у всіх рівняннях системи на першому місці стоїть x1, на другому - x2, на третьому - x3 і т.д. Тоді кожній з цих змінних буде відповідати свій стовпець у матриці.

Для застосування методу Крамера необхідно, щоб вийшла матриця була квадратної. Цій умові відповідає рівність числа невідомих і кількості рівнянь в системі.

Знайдіть детермінант основної матриці?. Він повинен бути ненульовим: лише в цьому випадку рішення системи буде єдиним і однозначно визначеним.

Щоб записати додатковий детермінант? (I), замініть i-й стовпець стовпцем вільних членів. Число додаткових визначників буде дорівнювати числу змінних в системі. Обчисліть всі визначники.

З отриманих визначників залишилося лише знайти значення невідомих. У загальному вигляді, формула для знаходження змінних виглядає так: x (i) =? (I) / ?.

Приклад. Система, що складається з трьох лінійних рівнянь, що містить три невідомі x1, x2 і x3, має вигляд: a11 • x1 + a12 • x2 + a13 • x3 = b1, a21 • x1 + a22 • x2 + a23 • x3 = b2, a31 • x1 + a32 • x2 + a33 • x3 = b3.

З коефіцієнтів перед невідомими запишіть основний детермінант: a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

Обчисліть його :? = A11 • a22 • a33 + a31 • a12 • a23 + a13 • a21 • a32 - a13 • a22 • a31 - a11 • a32 • a23 - a33 • a12 • a21.

Замінивши перший стовпець вільними членами, складіть перший додатковий визначник: b1 a12 a13b2 a22 a23b3 a32 a33

Аналогічну процедуру проведіть з другим і третім стовпцями: a11 b1 a13a21 b2 a23a31 b3 a33a11 a12 b1a21 a22 b2a31 a32 b3

Обчисліть додаткові детермінанти:? (1) = b1 • a22 • a33 + b3 • a12 • a23 + a13 • b2 • a32 - a13 • a22 • b3 - b1 • a32 • a23 - a33 • a12 • b2.? (2) = a11 • b2 • a33 + a31 • b1 • a23 + a13 • a21 • b3 - a13 • b2 • a31 - a11 • b3 • a23 - a33 • b1 • a21.? (3) = a11 • a22 • b3 + a31 • a12 • b2 + b1 • a21 • a32 - b1 • a22 • a31 - a11 • a32 • b2 - b3 • a12 • a21.

Знайдіть невідомі, запишіть відповідь: x1 =? (1) / ?, x2 =? (2) / ?, x3 =? (3) / ?.