ЯК вирішити рівняння методом Гауса

Одним із класичних способів вирішення систем лінійних рівнянь є метод Гаусса. Він полягає в послідовному виключенні змінних, коли система рівнянь за допомогою простих перетворень переводиться в ступінчасту систему, з якої послідовно знаходяться всі змінні, починаючи з останніх.

Інструкція

Спочатку приведіть систему рівнянь в такий вигляд, коли всі невідомі будуть стояти в строго визначеному порядку. Наприклад, всі невідомі Х стоятимуть першими в кожному рядку, все Y - після X, все Z - після Y і так далі. У правій частині кожного рівняння невідомих бути не повинно. Подумки визначте коефіцієнти, які стоять перед кожною невідомою, а також коефіцієнти в правій частині кожного рівняння.

Отримані коефіцієнти запишіть у вигляді розширеної матриці. Розширена матриця - це матриця, складена з коефіцієнтів при невідомих і шпальти вільних членів. Після цього переходите до елементарних перетворень в матриці. Почніть переставляти місцями її рядки до тих пір, поки не знайдете пропорційні або однакові. Як тільки такі рядки з'являться, видаліть їх всі, крім однієї.

Якщо в матриці з'явиться нульова рядок, видаліть і її. Нульова рядок - це рядок, в якій всі елементи рівні нулю. Потім спробуйте ділити або множити рядки матриці на будь-які числа, крім нуля. Це допоможе вам спростити подальші перетворення, позбувшись від дрібних коефіцієнтів.

Почніть до рядків матриці додавати інші рядки, помножені на будь-яке число, відмінне від нуля. Робіть це до тих пір, поки не виявите в рядках нульові елементи. Кінцева мета всіх перетворень - перевести всю матрицю в ступінчастий (трикутний вид), коли кожна нижченаведена рядок буде мати все більше і більше нульових елементів. В оформленні завдання простим олівцем можна підкреслити отриману драбинку і обвести кружками числа, розташовані на ступенях цієї драбини.

Потім приведіть отриману матрицю назад в початковий вигляд системи рівнянь. У самому нижньому рівнянні вже буде видно готовий результат: чому дорівнює невідома, що стояла на останньому місці кожного рівняння. Підставивши отримане значення невідомої в рівняння, розташоване вище, отримаєте значення другої невідомою. І так далі, поки не обчисліть значення всіх невідомих.