ЯК вирішувати систему рівнянь

Приступаючи до вирішення системи рівнянь, розберіться з тим, які це рівняння. Досить добре вивчені способи вирішення лінійних рівнянь. Нелінійні рівняння найчастіше не наважуються. Є лише одні окремі випадки, кожен з яких практично індивідуальний. Тому вивчення прийомів рішення слід почати з рівнянь саме лінійних. Такі рівняння можна вирішувати навіть чисто алгоритмічно.

Інструкція

Почніть процес навчання з вивчення способів вирішення системи двох лінійних рівнянь з двома невідомими X і Y методом виключення. a11 * X + a12 * Y = b1 (1) - a21 * X + a22 * Y = b2 (2). Коефіцієнти рівнянь позначені індексами, що вказують їх місця розташування. Так коефіцієнт a21 підкреслює той факт, що він записаний у другому рівнянні на першому місці. У загальноприйнятих позначеннях система записується рівняннями розташованими один під одним спільно позначаються фігурною дужкою справа або зліва (докладніше див. Рис. 1а).

Нумерація рівнянь довільна. Виберіть з них найпростіше, наприклад те, в якому перед однією з змінних варто коефіцієнт 1 або принаймні ціле число. Якщо це рівняння (1), то далі висловіть, скажімо, невідоме Y через X (випадок виключення Y). Для цього перетворіть (1) до виду a12 * Y = b1-a11 * X (або a11 * X = b1-a12 * Y при виключенні Х)), а потім Y = (b1-a11 * X) / a12. Підставивши останнє в рівняння (2) запишіть a21 * X + a22 * (b1-a11 * X) / a12 = b2. Вирішіть це рівняння щодо X.
a21 * X + a22 * b1 / a12-a11 * a22 * X / a12 = b2- (a21-a11 * a22 / a12) * X = b2-a22 * b1 / a12-

X = (a12 * b2-a22 * b1) / (a12 * a21-a11 * a22) або X = (a22 * b1-a12 * b2) / (a11 * a22-a12 * a21).
Скориставшись знайденої зв'язком між Y і Х, остаточно отримаєте і друге невідоме Y = (a11 * b2-a21 * b1) / (a11 * a22-a12 * a21).

Якби система була задана з конкретними числовими коефіцієнтами, то і викладення були б менш громіздкі. Зате спільне рішення дає можливість розглянути той факт, що знаменники при знайдених невідомих скоєно однакові. Та й у числителей проглядаються деякі закономірності їх побудови. Якщо розмірність системи рівнянь була б більшою двох, то метод виключення приводив би до дуже громіздким викладкам. Щоб їх уникнути, розроблені чисто алгоритмічні способи рішення. Найпростіший з них алгоритм Крамера (формули Крамера). Для їх вивчення слід дізнатися, що таке загальна система рівнянь з n рівнянь.

Система n лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими має вигляд (див. Рис. 1a). У ній аij - коефіцієнти системи,
хj - невідомі, bi - вільні члени (i = 1, 2 ..., n- j = 1, 2, ..., п). Компактно таку систему можна записувати в матричної формі АХ = B. Тут А - матриця коефіцієнтів системи, Х - матриця-стовпець невідомих, B - матриця-стовпець вільних членів (див. Рис 1b). За методом Крамера кожне невідоме xi =? I /? (I = 1,2 ..., n). Визначник? матриці коефіцієнтів називають головним, а? i допоміжним. Для кожної невідомої допоміжний визначник знаходять за допомогою заміни i-го шпальти головного визначника на стовпець вільних членів. Детально метод Крамера для випадку систем другого і третього порядку представлений на рис. 2.