ЯК ділити матриці :: Математика

Матрична алгебра - розділ математики, присвячений вивченню властивостей матриць, їх застосуванню для вирішення складних систем рівнянь, а також правилам дій над матрицями, включаючи поділ.

Інструкція

Існує три дії над матрицями: додавання, віднімання і множення. Розподіл матриць, як таке, дією не є, але його можна представити у вигляді множення першої матриці на матрицю, зворотну до другої: A / B = Amiddot-B ^ (- 1).

Тому операція ділення матриць зводиться до двох дій: пошуку зворотної матриці і множенню її на першу. Зворотною називається така матриця A ^ (- 1), яка при множенні на A дає одиничну матрицю.

Формула зворотної матриці: A ^ (- 1) = (1 /?) • B, де? - Визначник матриці, який повинен бути відмінний від нуля. Якщо це не так, то зворотна матриця не існує. B - матриця, що складається з алгебраїчних доповнень вихідної матриці А.

Наприклад, виконайте поділ заданих матриць.

Знайдіть матрицю, зворотну до другої. Для цього обчисліть її визначник і матрицю алгебраїчних доповнень. Запишіть формулу визначника для квадратної матриці третього порядку :? = A11middot-a22middot-a33 + a12middot-a23middot-a31 + a21middot-a32middot-a13 - a31middot-a22middot-a13 - a12middot-a21middot-a33 - a11middot-a23middot-a32 = 27.

Визначте алгебраїчні доповнення за вказаними формулами: A11 = a22 • a33 - a23 • a32 = 1 • 2 - (-2) • 2 = 2 + 4 = 6-A12 = - (a21 • a33 - a23 • a31) = - (2 • 2 - (-2) • 1) = - (4 + 2) = -6-A13 = a21 • a32 - a22 • a31 = 2 • 2 - 1 • 1 = 4 - 1 = 3-A21 = - (a12 • a33 - a13 • a32) = - ((- 2) • 2 - 1 • 2) = - (- 4 - 2) = 6-A22 = a11 • a33 - a13 • a31 = 2 • 2 - 1 • 1 = 4 - 1 = 3-A23 = - (a11 • a32 - a12 • a31) = - (2 • 2 - (-2) • 1) = - (4 + 2) = -6-A31 = a12 • a23 - a13 • a22 = (-2) • (-2) - 1 • 1 = 4 - 1 = 3-A32 = - (a11 • a23 - a13 • a21) = - (2 • (-2) - 1 • 2) = - (- 4 - 2) = 6-A33 = a11 • a22 - a12 • a21 = 2 • 1 - (-2) • 2 = 2 + 4 = 6.

Розділіть елементи матриці алгебраїчних доповнень на величину визначника, рівну 27. Таким чином, ви отримали матрицю, зворотну до другої. Тепер завдання зводиться до множення першої матриці на нову.

Виконайте множення матриць за формулою C = A * B: c11 = a11 • b11 + a12 • b21 + a13 • b31 = 1/3-c12 = a11 • b12 + a12 • b22 + a13 • b23 = -2 / 3-c13 = a11 • b13 + a12 • b23 + a13 • b33 = -1-c21 = a21 • b11 + a22 • b21 + a23 • b31 = 4/9-c22 = a21 • b12 + a22 • b22 + a23 • b23 = 2/9 -c23 = a21 • b13 + a22 • b23 + a23 • b33 = 5/9-c31 = a31 • b11 + a32 • b21 + a33 • b31 = 7/3-c32 = a31 • b12 + a32 • b22 + a33 • b23 = 1/3-c33 = a31 • b13 + a32 • b23 + a33 • b33 = 0.