Як скласти характеристичне рівняння

До відповіді на питання слід підходити на основі розгляду найпростіших завдань, для вирішення яких можуть знадобитися характеристичні рівняння. Насамперед - це рішення нормальної однорідної системи однорідних диференціальних рівнянь (ЛОДР). Її вигляд наведений на малюнку 1.Учітивая позначення, наведені на рис. 1. Перепишіть систему в матричному віде.Получіте Y '= AY.

Відомо, що фундаментальна система рішень (ФСР), розглянутої задачі, знаходиться у вигляді Y = exp [kx] B, де В - стовпець постійних. Тоді Y '= kY. Виникає система АY-kEY = 0 (E - одинична матриця). Або (А-kE) Y = 0. Потрібні знайти ненульові рішення, тому ця система однорідних рівнянь має вироджену матрицю і, відповідно, визначник такої матриці дорівнює нулю. У розгорнутому вигляді даний визначник (див. Рис. 2) .На рис. 2 у вигляді визначника записано рівняння алгебри n-го порядку та його рішення дозволяють скласти ФСР вихідної системи. Це рівняння названо характеристичним.

Тепер розгляньте ЛОДР n-го порядку (cм. Рис. 3) .Якщо ліву його частину позначити як лінійний диференційний оператор L [y], то ЛОДР перепишеться у вигляді L [y] = 0. Якщо шукати рішення ЛОДР у вигляді y = exp (kx), то y '= kexp (kx), y' '= (k ^ 2) exp (kx), ..., y ^ (n-1) = (k ^ ( n-1)) exp (kx), y ^ n = (k ^ n) exp (kx) і, після скорочення на y = exp (kx), вийде рівняння: k ^ n + (a1) k ^ (n-1 ) + ... + a (n-1) k + an = 0, яке також називається характеристичним.

Для того щоб переконатися, що суть останнього характеристичного рівняння залишилася колишньою (тобто що це не якийсь інший об'єкт), перейдіть від ЛОДР n-го порядку до нормальної системи ЛОДР шляхом послідовних підстановок. Перша з них y1 = y, а далееy1 '= y2, y2'1 = y3, ..., y (n-1)' = yn, yn '= - an * y1-a (n-2) * yn- ... - a1 * y (n-1).

Запишіть виниклу систему, складіть її характеристичне рівняння у вигляді визначника, розкрийте його та переконайтеся в тому, що вийшло характеристичне рівнянь для ЛОДР n-го порядку. Заодно виникає і твердження про фундаментальному сенсі характеристичного рівняння.

Перейдіть до загальної задачі пошуку власних чисел лінійних перетворень (вони можуть бути і диференціальними), що включає в себе стадію складання характеристичного рівняння. Число k називають власним значенням (числом) лінійного перетворення А, якщо існує вектор х такий, що Ax = kx.Поскольку кожному лінійному перетворенню однозначно може бути поставлена його матриця, то завдання зводиться до складання характеристичного рівняння для деякої квадратної матриці. Робиться це в точності так як і в початковому прикладі для нормальних систем ЛОДР. Просто замініть символи y на х, якщо після запису характеристичного рівняння підуть ще якісь дії. Якщо ж ні, то цього робити не варто. Просто беріть матрицю А (див. Рис. 1) і записуйте відповідь у вигляді визначника (див. Рис.2). Після розкриття визначника робота завершена.