Як визначити вид диференціального рівняння

Необхідність в диференціальних рівняннях виникає тоді, коли відомі властивості функції, а сама вона залишається невідомою величиною. Часто така ситуація виникає при дослідженні фізичних процесів. Властивості функції описуються її похідними або диференціалом, тому єдиним способом її знаходження є інтегрування. Перш ніж приступати до вирішення, потрібно визначити вид диференціального рівняння.

Існує кілька видів диференціальних рівнянь, найпростішим з них є вираз у '= f (х), де у' = dу / dх. Крім того, до цього виду може бути приведене рівність f (х) • у '= g (х), тобто у '= g (х) / f (х). Зрозуміло, це можливо лише за умови, що f (х) не звертається в нуль. Приклад: 3 ^ х • у '= х? - 1> у '= (х? - 1) / 3 ^ х.

Диференціальні рівняння з розділеними змінними називаються так тому, що похідна у 'в даному випадку буквально розділена на дві складові dу і dх, які знаходяться по різні сторони від знака одно. Це рівняння виду f (у) • dу = g (х) • dх. Приклад: (у? - Sin у) • dу = tg х / (х - 1) • dх.

Два описаних виду диференціальних рівнянь носять назву звичайних або скорочено ОДУ. Однак рівняння першого порядку можуть бути і більш складними, неоднорідними. Вони називаються ЛНДУ - лінійні неоднорідні рівняння у '+ f (х) • у = g (х).
До ЛНДУ належить, зокрема, рівняння Бернуллі у '+ f (х) • у = g (х) • у ^ a. Приклад: 2 • у '- х? • у = (ln х / х?) • у ?. А також рівняння в повних диференціалах f (х, у) dх + g (х, у) dу = 0, де? FХ (х, у) /? У =? Gу (х, у) /? Х. Приклад: (х? - 2 • х • у) dх - х? Dу = 0, де х? - 2 • х • у - приватна похідна по х від функції? • х ^ 4 - х? • у + C, а (-х?) - Її приватна похідна за у.

Найпростішим видом ОДУ другого порядку є у '' + p • у '+ q • у = 0, де p і q - постійні коефіцієнти. ЛНДУ другого порядку - це ускладнена версія ОДУ, а саме у '' + p • у '+ q • у = f (х). Приклад: у '' - 5 • у '+ 13 • у = sin х. Якщо p і q - функції аргументу х, то рівняння може виглядати приблизно так: у '' - 5 • х? • у '+ 13 • (х - 1) • у = sin х.

Диференціальні рівняння вищих порядків підрозділяються на три підвиди: допускають зниження порядку, рівняння з постійними коефіцієнтами і з коефіцієнтами у вигляді функцій аргументу х:

• Вираз f (х, у ^ (m), у ^ (m + 1), ..., у ^ (n)) = 0 не містить похідних нижче порядку m, значить, через заміну z = у ^ (m) можна зменшити порядок. Тоді рівняння перетвориться в вид f (х, z, z ', ..., z ^ (n - m)) = 0. Приклад: у' '' • х - 4 • у? = У '- 2> z' '• х - 4 • у? = Z - 2, де z = у '= dу / dх;
• ЛОДР у ^ (k) + p_ (k-1) • у ^ (k-1) + ... + p1 • у '+ p0 • у = 0 і ЛНДУ у ^ (k) + p_ (k-1) • у ^ (k-1) + ... + p1 • у '+ p0 • у = f (х) з постійними коефіцієнтами pi. Приклади: у ^ (3) + 2 • у '' - 15 • у '+ 3 • у = 0 і у ^ (3) + 2 • у' '- 15 • у' + 3 • у = 2 • х? - Ln х;
• ЛОДР у ^ (k) + p (х) _ (k-1) • у ^ (k-1) + ... + p1 (х) • у '+ p0 (х) • у = 0 і ЛНДУ у ^ ( k) + p (х) _ (k-1) • у ^ (k-1) + ... + p1 (х) • у '+ p0 (х) • у = f (х) з коефіцієнтами-функціями pi (х ). Приклади: у '' '+ 2 • х? • у' '- 15 • arсsin х • у' + 9 • х • у = 0 і у '' '+ 2 • х? • у' '- 15 • arcsin х • у '+ 9 • х • у = 2 • х? - Ln х.

Вид конкретного диференціального рівняння не завжди буває очевидним. Тоді слід уважно розглянути його на предмет приведення до одного з канонічних типів, щоб застосувати відповідний спосіб вирішення. Зробити це можна різними методами, найбільш поширеними з них є заміна і розкладання похідної на складові у '= dу / dх.