ЯК вирішити диференціальне рівняння першого порядку

Диференціальне рівняння першого порядку відноситься до найпростіших диференціальних рівнянь. Вони найбільш легко піддаються дослідженню та вирішенню, а в кінцевому підсумку їх завжди можна проінтегрувати.

Інструкція

Рішення диференціального рівняння першого порядку розглянемо на прикладі xy '= y. Ви бачите, що воно містить: х - незалежну переменную- у - залежну змінну, функцію-y '- першу похідну функції.

Не лякайтеся, якщо в деяких випадках в рівнянні першого порядку не буде «х» або (і) «у». Головне, щоб в диференціальному рівнянні обов'язково була y '(перша похідна), і були відсутні y' ', y' '' (похідні вищих порядків).

Уявіть похідну в наступному вигляді: y '= dydx (формула знайома зі шкільної програми). Ваша похідна повинна виглядати таким чином: x * dydx = y, де dy, dx - диференціали.

Тепер розділіть змінні. Наприклад, в лівій частині залиште тільки змінні містять y, а в правій - змінні містять x. У вас повинно вийти наступне: dyy = dxx.

Проінтегріруйте отримане в попередніх маніпуляціях диференціальне рівняння. Ось так: dyy = dxx

Тепер обчисліть наявні інтеграли. У цьому простому випадку вони табличні. Ви повинні отримати наступний результат: lny = lnx + C
Якщо ваша відповідь відрізняється від представленого тут, перевірте всі записи. Десь допущена помилка і її потрібно виправити.

Після того, як обчислені інтеграли, рівняння можна вважати вирішеним. Але отриманий відповідь представлений в неявному вигляді. На цьому кроці ви отримали загальний інтеграл. lny = lnx + C
Тепер уявіть відповідь в явному вигляді або, іншими словами, знайти спільне рішення. Перепишіть отриманий на попередньому кроці відповідь в наступному вигляді: lny = lnx + C, скористайтеся одним із властивостей логарифмів: lna + lnb = lnab для правої частини рівняння (lnx + C) і звідси висловіть у. Ви повинні отримати запис: lny = lnCx

Тепер приберіть логарифми і модулі з обох частин: y = Cx, С - cons
Ви маєте функцію, представлену в явному вигляді. Це і називається загальним рішенням для диференціального рівняння першого порядку xy '= y.