ЯК вирішувати задачу без х

При вирішенні диференціальних рівнянь не завжди явно доступний аргумент x (або час t в задачах фізичних). Тим не менше - це спрощений окремий випадок завдання диференціального рівняння, що часто сприяє спрощенню пошуку його інтеграла.

Інструкція

задачу без х "class =" lightbx "data-lightbox =" article-image "> Як вирішувати <strong>задачу</strong> без х

Розгляньте фізичну задачу, приводить до диференціального рівняння, в якому відсутня аргумент t. Це задача про коливання математичного маятника масою m, підвішеного на нитці довжиною r, розташованої у вертикальній площині. Потрібно знайти рівняння руху маятника, якщо в початковий момент маятник був нерухомий і відхилений від стану рівноваги на кут?. Силами опору слід нехтувати (див. Рис. 1a).

Рішення. Математичний маятник являє собою матеріальну точку, підвішену на невагомою і нерозтяжної нитки в точці О. На точку діють дві сили: сила тяжіння G = mg і сила натягу нитки N. Обидві ці сили лежать у вертикальній площині. Тому для вирішення завдання можна застосувати рівняння обертального руху точки навколо горизонтальної осі, що проходить через точку О. Рівняння обертального руху тіла має вигляд, наведений на рис. 1b. При цьому I - момент інерції матеріальної точки-j - кут повороту нитки разом з точкою, відлічуваний від вертикальної осі проти годинникової стрелкі- M - момент сил, прикладених до матеріальної точці.

Обчисліть ці величини. I = mr ^ 2, M = M (G) + M (N). Але M (N) = 0, тому що лінія дії сили проходить через точку О. M (G) = - mgrsinj. Знак «-» означає, що момент сили спрямований у бік, протилежний рухові. Підставте момент інерції і момент сили в рівняння руху і отримаєте рівняння, відображене на рис. 1с. Скорочуючи масу, виникає співвідношення (див. Рис. 1d). Тут немає аргументу t.

У загальному випадку диференціальне рівняння n-го порядку не має х і дозволене відносно старшої похідної y ^ (n) = f (y, y ', y' ', ..., y ^ (n-1)). Для другого порядку це y '' = f (y, y '). Вирішите його підстановкою y '= z = z (y). Так як для складної функції dz / dx = (dz / dy) (dy / dx), то y '' = z'z. Це призведе до рівняння першого порядку z'z = f (y, z). Вирішите його будь-яким з відомих вам способів і отримаєте z =? (Y, C1). В результаті отримано dy / dx =? (Y, C1),? Dy /? (X, C1) = x + C2. Тут С1 і С2 - довільні постійні.

Конкретне рішення залежить від виду виниклого диференціального рівняння першого порядку. Так, якщо це рівняння із перемінними, то воно вирішується безпосередньо. Якщо це однорідне відносно y рівняння, то для вирішення застосуєте підстановку u (y) = z / y. Для лінійного рівняння z = u (y) * v (y).