ЯК вирішувати диференціальне рівняння

Завдання на диференціальне та інтегральне числення є важливими елементами закріплення теорії математичного аналізу, розділу вищої математики, що вивчається у вузах. Диференціальне рівняння вирішується методом інтегрування.

Інструкція

Диференціальне числення досліджує властивості функцій. І навпаки, інтегрування функції дозволяє за даними властивостями, тобто похідним або диференціалом функції знайти її саму. У цьому і полягає рішення диференціального рівняння.

Будь-яке рівняння є співвідношенням між невідомою величиною і відомими даними. У разі диференціального рівняння роль невідомого відіграє функція, а роль відомих величин - її похідні. Крім цього, співвідношення може містити незалежну змінну: F (x, y (x), y '(x), y' '(x), ..., y ^ n (x)) = 0, де x - невідома змінна, y (x) - функція, яку потрібно визначити, порядок рівняння - це максимальний порядок похідної (n).

Таке рівняння називається звичайним диференціальним рівнянням. Якщо ж у співвідношенні кілька незалежних змінних і приватні похідні (диференціали) функції по цим змінним, то рівняння називається диференціальним рівнянням з приватними похідними і має вигляд: x? Z /? Y -? Z /? X = 0, де z (x, y) - шукана функція.

Отже, щоб навчитися вирішувати диференціальні рівняння, необхідно вміти знаходити первісні, тобто вирішувати задачу, зворотну диференціювання. Наприклад: Розв'яжіть рівняння першого порядку y '= -y / x.

РешеніеЗаменіте y 'на dy / dx: dy / dx = -y / x.

Наведіть рівняння до виду, зручного для інтегрування. Для цього помножте обидві частини на dx і розділіть на y: dy / y = -dx / x.

Проінтегріруйте: int-dy / y = - int-dx / x + Сln | y | = - ln | x | + C.

Уявіть константу у вигляді натурального логарифма C = ln | C |, тоді: ln | xy | = ln | C |, звідки xy = C.

Це рішення називається загальним рішенням диференціального рівняння. С - це константа, безліч значень якої визначає безліч рішень рівняння. При будь-якому конкретному значенні З рішення буде єдиним. Таке рішення є приватним рішенням диференціального рівняння.