ЯК знайти спільне рішення диференціального рівняння?

Будь-яке диференціальне рівняння (ДУ), крім шуканої функції і аргументу містить в собі похідні цієї функції. Диференціювання та інтегрування є зворотними операціями. Тому процес рішення (ДУ) часто називають його інтегруванням, а саме рішення - Інтегралом. Невизначені інтеграли містять довільні константи, тому в ДУ також містяться константи, а саме рішення, визначене з точністю до констант, є загальним.

Інструкція

Загальне рішення ДУ будь-якого порядку складати абсолютно немає чого. Воно утворюється само собою, якщо в процесі його отримання не використовувалися початкові або крайові умови. Інша справа, якщо певного рішення не було, і вони вибиралися за заданими алгоритмами, отриманим на основі теоретичних відомостей. Саме так і відбувається, якщо мова йде про лінійних ДУ з постійним коефіцієнтами n-го порядку.

Лінійне однорідне ДУ (ЛОДР) n-го порядку має вигляд (див. Рис. 1) .Якщо його ліву частину позначити як лінійний диференційний оператор L [y], то ЛОДР перепишеться у вигляді L [y] = 0, і L [y ] = f (x) - для лінійного неоднорідного диференціального рівняння (ЛНДУ).

Якщо шукати рішення ЛОДР у вигляді y = exp (k • x), то y '= k • exp (k • x), y' '= (k ^ 2) • exp (k • x), ..., y ^ ( n-1) = (k ^ (n-1)) • exp (k • x), y ^ n = (k ^ n) • exp (k • x). Після скорочення на y = exp (k • x), ви прийдете до рівняння: k ^ n + (a1) k ^ (n-1) + ... + a (n-1) • k + an = 0, званому характеристичним. Це звичайне алгебраїчне рівняння. Таким чином, якщо k - корінь характеристичного рівняння, то функція y = exp [k • x] - рішення ЛОДР.

Рівняння алгебри n-го ступеня має n коренів (з урахуванням кратних і комплексних). Кожному вещественному кореню ki кратності «один» відповідає функція y = exp [(ki) x], тому, якщо всі вони дійсні і різні, то з урахуванням того, що будь-яка лінійна комбінація цих експонент теж є рішенням, можна скласти загальне рішення ЛОДР: y = C1 • exp [(k1) • x] + C2 • exp [(k2) • x] + ... + Cn • exp [(kn) • x].

У загальному випадку, серед рішень характеристичного рівняння можуть перебувати речові кратні і комплексно зв'язані коріння. При побудові спільного рішення у позначеній ситуації обмежтеся ЛОДР другого порядку. Тут можливе отримання двох коренів характеристичного рівняння. Нехай це буде комплексно сполучена пара k1 = p + i • q і k2 = pi • q. Застосування експонент з такими показниками дасть комплексно-значні функції при вихідному рівнянні з дійсними коефіцієнтами. Тому їх перетворять за формулою Ейлера і призводять до виду y1 = exp (p • x) • sin (q • x) і y2 = exp (p • x) cos (q • x). Для випадку одного речового кореня кратності r = 2 використовують y1 = exp (p • x) і y2 = x • exp (p • x).

Остаточний алгоритм. Потрібно скласти загальне рішення ЛОДР другого порядку y '' + a1 • y '+ a2 • y = 0.Составьте характеристичне рівняння k ^ 2 + a1 • k + a2 = 0.Еслі воно має дійсні корені k1? K2, то його загальне рішення виберіть у вигляді y = C1 • exp [(k1) • x] + C2 • exp [(k2) • x] .Якщо є один дійсний корінь k, кратності r = 2, то y = C1 • exp [k • x] + C2 • x • exp [k2 • x] = exp [k • x] (C1 + C2 • x • exp [k • x]). Якщо є комплексно сполучена пара коренів k1 = p + i • q і k2 = pi • q, то відповідь запишіть у вигляді y = C1 • exp (p • x) sin (q • x) ++ C2 • exp (p • x) cos (q • x).