ЯК привести до канонічного виду рівняння :: привести рівняння другого порядку до канонічного виду

Коли ставиться питання про приведення рівняння кривої до канонічного увазі то, як правило, маються на увазі криві другого порядку. Це еліпс, парабола і гіпербола. Найпростіший спосіб їх запису (канонічний) хороший тим, що тут можна відразу визначитися з тим, про яку кривої йде мова. Тому стає актуальною задача приведення рівнянь другого порядку до канонічного виду.

Інструкція

Рівняння плоскої кривої другого порядку має вигляд: A • x ^ 2 + B • x • y + C • y ^ 2 + 2D • x + 2E • y + F = 0. (1) При цьому коефіцієнти A, B і С не рівні нулю одночасно. Якщо В = 0, то весь сенс завдання приведення до канонічного виду зводиться до паралельного переносу системи координат. Алгебраїчно - це виділення повних квадратів у вихідному рівнянні.

При В не рівному нулю канонічне рівняння можна отримати лише при підстановках, фактично означають поворот системи координат. Розгляньте геометричний спосіб (див. Рис. 1). Ілюстрація на рис. 1 дозволяє зробити висновок, що x = u • cos? - V • sin ?, y = u • sin? + V • cos ?.

Подальші докладні і громіздкі викладки опущені. У нових координатах v0u потрібно мати коефіцієнт загального рівняння кривої другого порядку B1 = 0, що досягається вибором кута?. Зробіть це на основі рівності: 2B • cos2? = (AC) • sin2 ?.

Подальше рішення зручніше проводити на конкретному прімере.Прімер. Перетворити до канонічного виду рівняння x ^ 2 + x • y + y ^ 2-3 • x-6y + 3 = 0.Решеніе. Випишіть значення коефіцієнтів рівняння (1): A = 1, 2B = 1, C = 1, 2D = -3, 2E = -6, F = 3.Найдіте кут повороту?. Тут cos2? = 0 і отже sin? = 1 / v2, cos? = 1 / v2.Запішіте формули перетворення координат: x = (1 / v2) • u- (1 / v2) • v, y = (1 / v2 ) • u + (1 / v2) • v.

Підставте останнє в умову задачі. Отримайте: [(1 / v2) • u- (1 / v2) • v] ^ 2 + [(1 / v2) • u- (1 / v2) • v] • [(1 / v2) • u + (1 / v2) • v] + [(1 / v2) • u + (1 / v2) • v] ^ 2-3 • [(1 / v2) u- (1 / v2) • v] -6 • [(1 / v2) • u + (1 / v2) • v] + + 3 = 0, звідки 3u ^ 2 + v ^ 2-9v2 • u + 3v2 • v + 6 = 0.

Для паралельного перенесення системи координат u0v, виділіть повні квадрати і получіте3 (u-3 / v2) ^ 2-27 / 2 + (v + 3 / v2) ^ 2-9 / 2 + 6 = 0. Позначте X = u-3 / v2, Y = v + 3 / v2. У нових координатах рівняння має вигляд 3X ^ 2 + Y ^ 2 = 12 або X ^ 2 / (2 ^ 2) + Y ^ 2 / ((2v3) ^ 2). Це еліпс.