ЯК визначити тип кривої другого порядку

Відповідь досить простий. Перетворіть загальне рівняння кривої другого порядку до канонічного виду. Шуканих кривих всього три, і це еліпс, гіпербола і парабола. Вид відповідних рівнянь можна побачити в додаткових джерелах. Там же можна переконатися, що повну процедуру приведення до канонічного виду слід всіляко уникати в силу її громіздкості.

Інструкція

Питання про з'ясування виду кривої другого порядку - швидше якісна, ніж кількісне завдання. У самій загальній випадку рішення може починатися з заданого рівняння лінії другого порядку (див. Рис. 1). У цьому рівнянні всі коефіцієнти - деякі постійні числа. Якщо забули рівняння еліпса, гіперболи і параболи в канонічному вигляді, подивіться їх в додаткових джерелах до цієї статті або будь-якому підручнику.

Порівняйте загальне рівняння з кожним з тих канонічних. Неважко прийти до висновку, що якщо коефіцієнти A? 0, С? 0, і їх знак однаковий, то після будь-якого перетворення, що приводить до канонічного виду, буде отриманий еліпс. Якщо знак різний - гіпербола. Парабола ж буде відповідати ситуації, коли коефіцієнти або А або С (але не обидва відразу) дорівнюють нулю. Таким чином, відповідь отримана. Тільки от числових характеристик немає, крім тих коефіцієнтів, що маються на конкретному умові задачі.

Є ще один спосіб отримання відповіді на поставлене запитання. Це застосування загального полярного рівняння кривих другого порядку. Це означає, що в полярних координатах всі три, що укладаються в канон криві (для декартових координат) записуються практично одним і тим же рівнянням. І хоча це в канон і не вкладається - тут можливо список кривих другого порядку розширювати необмежено (апліката Бернуллі, фігура Ліссажу і т. Д.).

Обмежимося еліпсом (в основному) і гіперболою. Парабола виникне автоматично, як випадок проміжний. Справа в тому, що спочатку еліпс визначався як геометричне місце точок, для яких сума фокальних радіусів r1 + r2 = 2a = const. Для гіперболи | r1-r2 | = 2a = const. Покладіть фокуси еліпса (гіперболи) F1 (-c, 0), F2 (c, 0). Тоді фокальні радіуси еліпса рівні (див. Рис. 2а). Для правої гілки гіперболи дивіться малюнок 2b.

Полярні координати? =? (?) Слід вводити, використовуючи фокус, як полярний центр. Тоді можна покласти? = R2 і після незначних перетворень отримаєте для правих ділянок еліпса і параболи полярні рівняння (див. Рис. 3). При цьому а - велика піввісь еліпса (уявна для гіперболи), с - абсциса фокусу, про параметр b - на малюнку.

Наведена на формулах малюнка 2 величина? називається ексцентриситетом. З формул малюнка 3 випливає, що всі інші величини з нею як-небудь пов'язані. І дійсно, оскільки? пов'язана з усіма головними кривими другого порядку, то на її основі і можна приймати основні рішення. А саме, якщо? 1 - гіпербола. ? = 1 - парабола. Це має і більш глибокий зміст. В куди як вкрай складному курсі «Рівняння математичної фізики» класифікація диференціальних рівнянь з приватними похідними проводиться на цій же основі.