ЯК знайти координати точки дотику

Перш ніж приступити до знаходження координат точки дотику, необхідно перевірити можливість проведення дотичній. Для цього виконайте аналіз функції, яка описує задану криву на певній ділянці.

Інструкція

Дотична до довільної лінії на площині в прямокутній системі координат - це межа, до якого прагне січна до даної кривої при максимальному зближенні точок перетину кривої і прямої.

Отже, дотична має тільки одну спільну точку з кривою. Однак це твердження справедливе для строго певної ділянки. Залежно від поведінки кривої в інших областях координатної площині, дотична може перетинати задану лінію або, навпаки, віддалятися від неї.

До деяких кривим можна провести дотичну в будь-якій точці. Приклади таких ліній - коло, еліпс. Інші безперервні криві можуть мати точки, в яких побудувати дотичну неможливо. Це відбувається на дільницях, де січна не прагне до одного граничного стану.

Нехай довільна крива описується виразом Y = F (x). Загальний вигляд рівняння прямої Y = kx + a. Очевидно, що в точці дотику з координатами (Xo, Yо) справедливо рівність: F (Xo) = kXo + a.

Якщо функція F (x) диференційовна в точці Xo, в цій точці можна провести дотичну до кривої, і коефіцієнт нахилу дотичної до осі OX дорівнює значенню похідної функції: k = F '(Xo). Рівняння дотичної в точці дотику приймає вид Yo = F '(Xo) * Xo + a. Задача знаходження координат точки дотику зводиться до вирішення системи двох рівнянь з двома невідомими Yo = F (Xo) і Yo = F '(Xo) * Xo + a.

Площина є дотичною до поверхні, якщо має спільну з поверхнею точку і пряму або плоску криву лінію. Визначення координат (Xo Yo Zo) загальною точки дотичної площини і заданої криволінійної поверхні Z = F (x, y) можливе в разі якщо функція F (x, y) має повний диференціал в даній точці.