ЯК знайти нормальний вектор :: рівняння нормалі в просторі

Перед тим як відповісти на поставлене питання, потрібно визначити, нормаль чого саме необхідно шукати. В даному випадку, імовірно, в задачі розглядається якась поверхню.

Інструкція

Приступаючи до вирішення поставленого завдання, слід пам'ятати, що нормаль до поверхні визначається як нормаль до дотичної площини. Виходячи саме з цього і буде вибиратися методика рішення.

Графік функції двох змінних z = f (x, y) = z (x, y) - це поверхня в просторі. Таким чином її найчастіше і задають. У першу чергу необхідно знайти дотичну площину до поверхні в деякій точці М0 (x0, y0, z0), де z0 = z (x0, y0).

Для цього слід згадати, що геометричний зміст похідної функції одного аргументу, це кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції в точці, де y0 = f (x0). Приватні похідні функції двох аргументів знаходять, фіксуючи «зайвий» аргумент точно так само, як і похідні звичайних функцій. Значить геометричний зміст похідної по x функції z = z (x, y) в точці (x0, y0) полягає в рівності її кутового коефіцієнта дотичної, до кривої, утвореної перетинанням поверхні і площини y = y0 (див. Рис. 1).

Дані, відображені на рис. 1, дозволяють зробити висновок, що рівняння дотичної до поверхні z = z (x, y), що містить точку М0 (xo, y0, z0) в перерізі при y = y0: m (x-x0) = (z-z0), y = y0. У канонічному вигляді можна записати: (x-x0) / (1 / m) = (z-z0) / 1, y = y0. Значить направляючий вектор цієї дотичної s1 (1 / m, 0, 1).

Тепер, якщо кутовий коефіцієнт стосовно для приватної похідної за y позначити n, то цілком очевидно, що аналогічно попередньому висловом, це призведе до (y-y0) / (1 / n) = (z-z0), x = x0 і s2 ( 0, 1 / n, 1).

Далі просування рішення у вигляді пошуку рівняння дотичної площини можна припинити і перейти безпосередньо до шуканої нормалі n. Її можна отримати як векторве твір n = [s1, s2]. Обчисливши його, буде визначено, що в заданій точці поверхні (x0, y0, z0). n = {- 1 / n, -1 / m, 1 / mn}.

Так як будь пропорційний вектор також залишиться вектором нормалі, найзручніше відповідь представити у вигляді n = {- n, -m, 1} і остаточно n (дz / дx, дz / дx, -1).