ЯК знайти вектор нормалі

Завдання пошуку вектора нормалі прямої на площині і площині в просторі занадто проста. Фактично вона завершується записом загальних рівнянь прямої або площини. Оскільки крива на площині всього лише окремий випадок поверхні в просторі, то саме про нормаллю до поверхні і піде мова.

Інструкція

Перший спосіб Цей спосіб найпростіший, але для його розуміння потрібно знання поняття скалярного поля. Втім, і недосвідчений у цьому питанні читач зможе використовувати результуючі формули даного питання.

Відомо, що скалярний поле f задається як f = f (x, y, z), а будь-яка поверхня при цьому - це поверхня рівня f (x, y, z) = C (C = const). Крім того, нормаль поверхні рівня збігається з градієнтом скалярного поля в заданій точці.

Градієнтом скалярно поля (функції трьох змінних) називається вектор g = gradf = iдf / дx + jдf / дy + kдf / дz = {Дf / дx, Дf / дy, Дf / дz}. Так як довжина нормалі значення не має, залишається лише записати відповідь. Нормаль до поверхностіf (x, y, z) -C = 0 в точкеM0 (x0, y0, z0) n = gradf = iдf / дx + jдf / дy + kдf / дz = {Дf / дx, Дf / дy, Дf / дz}.

Другий спосіб Нехай поверхня задана рівнянням F (x, y, z) = 0. Щоб можна було в подальшому провести аналогії з першим способом, слід враховувати, що похідна постійної дорівнює нулю, і F задається як f (x, y, z) -C = 0 (C = const). Якщо провести розтин цієї поверхні довільної площиною, то виникла просторову криву можна вважати годографом якої-небудь вектор-функції r (t) = ix (t) x + jy (t) + kz (t). Тоді похідна вектора r '(t) = ix' (t) + jy '(t) + kz' (t) спрямована по дотичній в деякій точці M0 (x0, y0, z0) поверхні (див. рис.1).

Щоб не виникло плутанини, поточні координати дотичної прямої слід позначити, наприклад, курсивом (x, y, z). Канонічні рівняння дотичної прямої, з урахуванням, що r '(t0) - направляючий вектор, записується як (xx (t0)) / (dx (t0) / dt) = (yy (t0)) / (dy (t0) / dt ) = (zz (t0)) / (dz (t0) / dt).

Підставивши координати вектор-функції в рівняння поверхні f (x, y, z) -C = 0 і продифференцировав по t ви отримаєте (Дf / дx) (дx / дt) + (Дf / дy) (дy / дt) + (Дf / дz) (дz / дt) = 0. Рівність являє собою скалярний добуток деякого вектора n (Дf / дx, Дf / дy, Дf / дz) і r '(x' (t), y '(t), z' (t)). Так як воно дорівнює нулю, то n (Дf / дx, Дf / дy, Дf / дz) і є шуканий вектор нормалі. Очевидно, що результати обох способів ідентичні.

Приклад (має теоретичне значення). Знайти вектор нормалі до поверхні заданої класичним рівнянням функції двох змінних z = z (x, y). Рішення. Перепишіть це рівняння у формі zz (x, y) = F (x, y, z) = 0. Слідуючи будь-якого з прийменникових способів, виходить, що n (-дz / дx, -дz / дy, 1) - шуканий вектор нормалі.