ЯК знайти кут між вектором і площиною

Вектор - спрямований відрізок прямої, що має певну довжину. У просторі він задається трьома проекціями на відповідні осі. Можна знайти кут між вектором і площиною, якщо вона представлена координатами своєї нормалі, тобто загальним рівнянням.

Інструкція

Площина - це основна просторова фігура геометрії, яка бере участь у побудові всіх двомірних і тривимірних форм, таких як трекутьнік, квадрат, паралелепіпед, призма, окружність, еліпс і т.д. У кожному конкретному випадку вона обмежується певним набором ліній, які, перетинаючись, утворюють замкнену фігуру.

Загалом ж вигляді площину не обмежується нічим, вона простягається по різні сторони від своєї твірної прямої. Це плоска нескінченна фігура, яка, тим не менш, може бути задана рівнянням, тобто кінцевими числами, які є координатами її нормального вектора.

Виходячи з вищесказаного, можна знайти кут між будь-яким вектором і площиною, використовуючи формулу косинуса кута між двома векторами. Спрямовані відрізки можуть бути розташовані в просторі як завгодно, проте кожен вектор має таку властивість, що його можна переміщати без втрати основних характеристик, напрямки і довжини. Цим і треба скористатися, щоб розрахувати кут між віддаленими векторами, помістивши їх візуально в одну початкову точку.

Отже, нехай заданий вектор V = (а, b, с) і площина А • x + В • y + C • z = 0, де А, В і C - координати нормалі N. Тоді косинус кута? між векторами V та N дорівнює: сos? = (А • А + b • В + з • C) / (v (а? + B? + С?) • v (А? + В? + C?)).

Щоб обчислити величину кута в градусах або радіанах, потрібно від отриманого виразу розрахувати функцію, обернену до косинусу, тобто арккосинус :? = Аrссos ((а • А + b • В + з • C) / (v (а? + B? + С?) • v (А? + В? + C?))).

Приклад: знайдіть кут між вектором (5, -3, 8) і площиною, заданої загальним рівнянням 2 • x - 5 • y + 3 • z = 0.Решеніе: випишіть координати нормального вектора площини N = (2, -5, 3). Підставте всі відомі значення в наведену формулу: сos? = (10 + 15 + 24) / v3724? 0,8>? = 36,87 °.