ЯК знайти об'єм піраміди, якщо дано координати вершин :: Як обчислити об'єм піраміди

Для розрахунку обсягу піраміди можна скористатися постійним співвідношенням, що зв'язує цю величину з об'ємом паралелепіпеда, побудованого на тій же підставі і з таким же нахилом висоти. А обсяг паралелепіпеда розраховується досить просто, якщо представити його ребра як набір векторів - наявність в умовах завдання координат вершин піраміди дозволяє це зробити.

Інструкція

Розглядайте ребра піраміди як вектори, на яких побудована ця фігура. За координатами точок в вершинах A (X? -Y? -Z?), B (X? -Y? -Z?), C (X? -Y? -Z?), D (X? -Y? -Z ?), визначте проекції векторів, що виходять з вершини піраміди, на осі ортогональної системи координат - відніміть з кожної координати кінця вектора відповідну координату початку: AB {X? -X? -Y? -Y? -Z? -Z?}, AC {X? -X? -Y? -Y? -Z? -Z?}, AD {X? -X? -Y? -Y? -Z? -Z?}.

Скористайтеся тим, що обсяг паралелепіпеда, побудованого на цих же векторах, повинен бути в шість разів більше обсягу піраміди. Обсяг такого паралелепіпеда визначити неважко - він дорівнює змішаного добутку векторів: | AB * AC * AD |. Значить, об'єм піраміди (V) складе одну шосту частину від цієї величини: V =? * | AB * AC * AD |.

Для розрахунку змішаного твори з отриманих на першому кроці координат складіть матрицю, помістивши в кожен її рядок три координати відповідного вектора:

(X? -X?) (Y? -Y?) (Z? -Z?)
(X? -X?) (Y? -Y?) (Z? -Z?)
(X? -X?) (Y? -Y?) (Z? -Z?)

Потім розрахуйте її визначник - построчно перемножте всі елементи множини і складіть результати:

(X? -X?) * (Y? -Y?) * (Z? -Z?) + (Y? -Y?) * (Z? -Z?) * (X? -X?) + (Z ? -Z?) * (X? -X?) * (Y? -Y?) + (Z? -Z?) * (Y? -Y?) * (X? -X?) + (Y? - Y?) * (X? -X?) * (Z? -Z?) + (X? -X?) * (Z? -Z?) * (Y? -Y?).

Отримане на попередньому кроці значення відповідає обсягу паралелепіпеда - розділіть його на шістку, щоб отримати шуканий об'єм піраміди. У загальному вигляді цю громіздку формулу можна записати так: V =? * | AB * AC * AD | =? * ((X? -X?) * (Y? -Y?) * (Z? -Z?) + ( Y? -Y?) * (Z? -Z?) * (X? -X?) + (Z? -Z?) * (X? -X?) * (Y? -Y?) + (Z? -Z?) * (Y? -Y?) * (X? -X?) + (Y? -Y?) * (X? -X?) * (Z? -Z?) + (X? -X ?) * (Z? -Z?) * (Y? -Y?)).

Якщо хід обчислень у вирішенні завдання приводити не потрібно, а потрібно лише отримати чисельний результат, простіше скористатися для розрахунків онлайн-сервісами. У мережі неважко знайти скрипти, які можуть допомогти з проміжними розрахунками - порахувати детермінант матриці - або самостійно обчислити об'єм піраміди по введених в поля форми координатам точок. Пара посилань на такі сервіси наведена нижче.