ЯК визначити відстань від точки до площини, заданої слідами

Одна з досить поширених завдань, що зустрічаються в початкових курсах вищої математики ВУЗ-ів, полягає у визначенні відстані від довільної точки до деякої площини. Як правило, площина задається рівнянням в тому чи іншому вигляді. Але існують і інші методи визначення площин. Наприклад, слідами.

Вам знадобиться

- дані слідів площині;
- координати точки.

Інструкція

Якщо в початкові умови не містять координати точок, які є місцями перетину площини з осями системи координат (сліди можуть задаватися подібним чином), визначте їх. Якщо сліди визначені парами довільних точок, що належать площинах ХY, ХZ, YZ, складіть рівняння прямих (в даних площинах), що містять відповідні відрізки. Вирішивши рівняння, знайдіть координати перетинів слідів з осями. Нехай це будуть точки А (Х1, Y1, Z1), В (Х2, Y2, Z2), С (Х3, Y3, Z3).

Приступите до знаходження рівняння площини, заданої вихідними слідами. Складіть визначник виду:
(Х-Х1) (Y-Y1) (Z-Z1)
(Х2-Х1) (Y2-Y1) (Z2 - Z1)
(Х3-Х1) (Y3-Y1) (Z3 - Z1)

Тут Х1, Х2, Х3, Y1, Y2, Y3, Z1, Z2, Z3 - значення координат точок А, В, С, знайдені на попередньому кроці, Х, Y і Z - змінні, що фігурують в результуючому рівнянні. Зверніть увагу на те, що елементи двох нижніх рядків матриці в підсумку будуть містити константні значення.

Обчисліть визначник. Прирівняти до нуля отриманий вираз. Це і буде рівняння площини. Зверніть увагу на те, що визначник виду
(N11) (n12) (n13)
(N21) (n22) (n23)
(N31) (n32) (n33)
можна обчислити як: n11 * (n22 * n33 - n23 * n32) + n12 * (n21 * n33 - n23 * n31) + n13 * (n21 * n32 - n22 * n31). Оскільки величини n21, n22, n23, n31, n32, n33 - константи, а в першому рядку містяться змінні Х, Y, Z, результуюче рівняння буде мати вигляд: АХ + Вy + Сz + D = 0.

Визначте відстань від точки до площини, заданої вихідними слідами. Нехай координатами цієї точки будуть значення Хm, Ym, Zm. Маючи дані величини, а також коефіцієнти А, В, С і вільний член рівняння D, отриманого на попередньому кроці, використовуйте формулу виду: P = | АХm + ВYm + СZm + D | / v (А? + В? + С?) для обчислення результуючого відстані.