ЯК можна задати площину

Існує безліч способів задати одну і ту ж площину в просторі - з використанням координат точок в різних координатних системах, зазначенням загальних, канонічних або параметричних рівнянь площині. Можна для цієї мети використовувати вектори, рівняння прямих і кривих ліній, а також різні комбінації всіх перерахованих варіантів. Нижче наведено лише кілька найбільш часто використовуваних способів.

Інструкція

Задайте площину зазначенням координат трьох незбіжних точок, що належать до безлічі точок, що становить площину. Обов'язкова умова, яке при цьому повинно бути виконано - зазначені точки не повинні лежати на одній прямій. Наприклад, ви сміливо можете стверджувати, що існує площина, яка однозначно визначається точками з координатами A (8,13,2) B (1,4,7) C (-3,5,12).

Більш широко використовується інший спосіб - завдання площині за допомогою рівняння. У загальному вигляді воно виглядає так: Ax + By + Cz + D = 0. Коефіцієнти A, B, C, D можна розрахувати за координатами точок, склавши матриці для кожного з них і обчисливши визначники. У кожен рядок матриці для коефіцієнта A помістіть три координати трьох точок, в яких всі абсциси замінені одиницею. Для коефіцієнтів B і C одиницями треба замінювати, відповідно, ординату і аплікат, а для матриці коефіцієнта D нічого змінювати не потрібно. Розрахувавши детермінант кожної матриці, підставте їх у загальне рівняння площини, помінявши при цьому знак коефіцієнта D. Наприклад, для наведеного в попередньому кроці прикладу формула повинна мати такий вигляд: -50 * x + 15 * y - 43 * z + 291 = 0.

Для встановлення площини замість трьох крапок можна використовувати одну точку і пряму, так як дві точки в просторі однозначно визначають єдину пряму. Щоб використовувати цей спосіб, точку вказуйте її тривимірними координатами, а пряму - рівнянням. У загальному вигляді рівняння пишеться так: Ax + By + C = 0. Для використаного вище прикладу площину можна задати координатами точки C (-3,5,12) і рівнянням прямої 2x - y + z - 5 = 0 - воно отримано з координат точок A і B.

Замість рівняння прямої координати точки можна доповнити координатами нормального вектора - ця пара даних теж здасть єдино можливу площину. Для площині з прикладів попередніх кроків таку пару може скласти точка A з координатами (8,13,2) і вектор o (-50,15, -43).

Можна задати площину і парою перетинання чи паралельних прямих. У цьому випадку приведіть їх стандартні або канонічні рівняння. Для того самого прикладу можна задати площину парою рівнянь прямих, на яких лежать пари точок A, B і A, C: 2x - y + z - 5 = 0 і -18x + 11y - 11z - 19 = 0.