ЯК знайти відстань від точки до прямої в просторі

У аналітичної геометрії положення безлічі точок, що належать прямій лінії в просторі, описується рівнянням. Для будь-якої точки простору щодо цієї лінії можна визначити параметр, який називається відхиленням. Якщо він дорівнює нулю, значить, точка лежить на лінії, а будь-яке інше значення відхилення, взяте по модулю, визначає найкоротша відстань між прямою і точкою. Розрахувати його можна, якщо відомо рівняння лінії і координати точки.

Інструкція

Для вирішення завдання в загальному вигляді позначте координати точки як A? (X? -Y? -Z?), Координати найближчої до неї точки на розглянутій прямій - як A? (X? -Y? -Z?), А рівняння прямої запишіть в такому вигляді: a * X + b * Y + c * Z - d = 0. Вам потрібно визначити довжину відрізка A? A ?, який лежить на лінії, перпендикулярній по відношенню до описуваної рівнянням. Перпендикулярний («нормальний») спрямовує вектор a = {abc} допоможе скласти канонічні рівняння проходить через точки A? і A? прямий: (X-X?) / a = (Y-Y?) / b = (Z-Z?) / c.

Запишіть канонічні рівняння в параметричній формі (X = a * t + X ?, Y = b * t + Y? І Z = c * t + Z?) І знайдіть значення параметра t ?, при якому вихідна і перпендикулярна до неї прямі перетинаються . Для цього підставте параметричні вираження в рівняння вихідної прямої: a * (a * t? + X?) + B * (b * t? + Y?) + C * (c * t? + Z?) - D = 0. Потім висловіть з рівності параметр t ?: t? = (D - a * X? - B * Y? - C * Z?) / (A? + B? + C?).

Підставте отримане на попередньому кроці значення t? в визначальні координати точки A? параметричні рівняння: X? = A * t? + X? = A * ((d - a * X? - B * Y? - C * Z?) / (A? + B? + C?)) + X ?, Y? = B * t? + Y? = B * ((d - a * X? - B * Y? - C * Z?) / (A? + B? + C?)) + Y? і Z? = C * t? + Z? = C * ((d - a * X? - B * Y? - C * Z?) / (A? + B? + C?)) + Z ?. Тепер у вас є координати двох точок, залишилося розрахувати визначається ними відстань (L).

Для отримання чисельного значення відстані між точкою з відомими координатами і прямої, що задається відомим рівнянням, розрахуйте чисельні значення координат точки A? (X? -Y? -Z?) За формулами з попереднього кроку і підставте значення в цю формулу:
L = (a * (X? - X?) + B * (Y? - Y?) + C * (Z? - Z?)) / (A? + B? + C?)

Якщо ж і результат треба отримати в загальному вигляді, він буде описуватися досить громіздким рівнянням. Замініть величини проекцій точки A? на три координатні осі равенствами з попереднього кроку і спростите наскільки можливо отримане рівність:
L = (a * (X? - X?) + B * (Y? - Y?) + C * (Z? - Z?)) / (A? + B? + C?) = (A * (X ? - a * ((d - a * X? - b * Y? - c * Z?) / (a? + b? + c?)) + X?) + b * (Y? - b * (( d - a * X? - b * Y? - c * Z?) / (a? + b? + c?)) + Y?) + c * (Z? - c * ((d - a * X? - b * Y? - c * Z?) / (a? + b? + c?)) + Z?)) / (a? + b? + c?) = (a * (2 * X? - a * ((d - a * X? - b * Y? - c * Z?) / (a? + b? + c?))) + b * (2 * Y? - b * ((d - a * X? - b * Y? - c * Z?) / (a? + b? + c?))) + c * (2 * Z? - c * ((d - a * X? - b * Y? - c * Z?) / (a? + b? + c?)))) / (a? + b? + c) = (2 * a * X? - a? * ((d - a * X ? - b * Y? - c * Z?) / (a? + b? + c?)) + 2 * b * Y? - b? * ((d - a * X? - b * Y? - c * Z?) / (a? + b? + c?)) + 2 * c * Z? - c? * ((d - a * X? - b * Y? - c * Z?) / (a? + b? + c?))) / (a? + b? + c?)

Якщо значення має тільки чисельний результат, а хід рішення задачі не важливий, скористайтеся онлайн-калькулятором, який призначений саме для розрахунку відстані між точкою і прямою в ортогональній системі координат тривимірного простору - https://ru.onlinemschool.com/math/assistance/ cartesian_coordinate / p_line. Тут ви можете помістити у відповідні поля координати точки, ввести рівняння прямої в параметричному або канонічному вигляді, а потім отримати відповідь, клацнувши по кнопці «Знайти відстань від точки до прямої».