ЯК віднімати коріння

Це питання відноситься не до безпосереднього відніманню коренів (обчислити різницю двох чисел можна і не вдаючись до послуг інтернету, та й замість «віднімання» записують «різницю»), а обчисленню вирахування кореня, більш точно в корені. Тема відноситься до теорії функції комплексних змінних (ТФКЗ).

Інструкція

коріння"Class =" lightbx "data-lightbox =" article-image "> Як віднімати коріння

Якщо ФКП f (z) є аналітичною в кільці 0

Якщо всі коефіцієнти головної частини ряду Лорана дорівнюють нулю, то особлива точка z0 називається усуненою особливою точкою функції. Розкладання в ряд Лорана в цьому випадку має вигляд (рис. 1b). Якщо головна частина ряду Лорана містить кінцеве число k доданків, то особлива точка z0 називається полюсом k-го порядку функції f (z). Якщо головна частина ряду Лорана містить нескінченне число членів, то особлива точка називається суттєвою особливою точкою функції f (z).

Приклад 1. Функція w = (z-2) / [((z-3) ^ 2) z ((z + 1) ^ 3)] має особливі точки: z = 3 - полюс другого порядку, z = 0 полюс першого порядку, z = -1 - полюс третього порядку. Зверніть увагу, що всі полюси знайдені шляхом знаходження коренів рівняння ((z-3) ^ 2) z ((z + 1) ^ 3) = 0.

коріння"Class =" lightbx "data-lightbox =" article-image "> Як віднімати коріння

Вирахуванням аналітичної функції f (z) в виколоти околиці точки z0 називають коефіцієнт с (-1) в розкладанні функції в ряд Лорана. Позначається res [f (z), z0]. Враховуючи формулу обчислення коефіцієнтів ряду Лорана, зокрема, коефіцієнта з (-1) виходить (див. Рис. 2). Тут? - Деякий кусочно-гладкий замкнутий контур, що обмежує однозв'язного область, що містить точку z0 (наприклад, окружність малого радіуса з центром в точці z0), і лежить в кільці 0

коріння"Class =" lightbx "data-lightbox =" article-image "> Як віднімати коріння

Отже, для знаходження вирахування функції в ізольованій особливій точці слід або розкласти функцію в ряд Лорана і визначити з цього розкладання коефіцієнт с (-1), або обчислити інтеграл малюнка 2. Існують і інші способи обчислення відрахувань. Так, якщо точка z0 є полюсом порядку k функції f (z), то відрахування в цій точці обчислюється за формулою (див. Рис.3).

Якщо функція f (z) =? (Z) /? (Z), де? (Z0)? 0, а? (Z) має простий корінь (кратності один) в z0, то? '(Z0)? 0 і z0 є простим полюсом f (z). Тоді res [f (z), z0] =? (Z0) /? '(Z0). З цього правила досить наочно випливає висновок. Перше, що робиться при знаходженні особливих точок - це визначення коренів знаменника? (z).