ЯК визначити критичні точки

Критичні точки є одним з найважливіших аспектів дослідження функції за допомогою похідної та мають широку область застосування. Вони використовуються в диференціальному і варіаційного числення, відіграють велику роль у фізиці і механіці.

Інструкція

Поняття критичної точки функції тісно пов'язане з поняттям її похідної в цій точці. А саме, точка називається критичною, якщо похідна функції в ній не існує або дорівнює нулю. Критичні точки є внутрішніми точками області визначення функцію.

Щоб визначити критичні точки даної функції, необхідно виконати декілька дій: знайти область визначення функції, обчислити її похідну, знайти область визначення похідної функції, знайти точки звернення похідної в нуль, довести приналежність знайдених точок області визначення вихідної функції.

Приклад 1Определіте критичні точки функції y = (x - 3) sup2-middot- (x-2).

РешеніеНайдіте область визначення функції, в даному випадку обмежень немає: x isin- (-? - +?) - Обчисліть похідну y '. За правилами диференціювання добутку двох функцій є: y '= ((x - 3) sup2 -)' middot- (x - 2) + (x - 3) sup2-middot- (x - 2) '= 2middot- (x - 3) middot- (x - 2) + (x - 3) sup2-middot-1. Після розкриття дужок виходить квадратне рівняння: y '= 3middot-xsup2- - 16middot-x + 21.

Знайдіть область визначення похідної функції: x isin- (-? - +?). Розв'яжіть рівняння 3middot-xsup2- - 16middot-x + 21 = 0 для того, щоб знайти, за яких x похідна звертається в нуль: 3middot-xsup2- - 16middot-x + 21 = 0 .

D = 256 - 252 = 4x1 = (16 + 2) / 6 = 3- x2 = (16 - 2) / 6 = 7 / 3.Ітак, похідна звертається в нуль при значеннях x, рівних 3 і 7/3.

Визначте, чи належать знайдені точки області визначення вихідної функції. Оскільки x (-? - +?), То обидві ці точки є критичними.

Приклад 2Определіте критичні точки функції y = xsup2- - 2 / x.

РешеніеОбласть визначення функції: x isin- (-? - 0) cup- (0- +?), оскільки x стоїть в знаменателе.Вичісліте похідну y '= 2middot-x + 2 / xsup2-.

Область визначення похідної функції та ж, що у вихідній: x isin- (-? - 0) cup- (0- +?). Розв'яжіть рівняння 2middot-x + 2 / xsup2- = 0: 2middot-x = -2 / xsup2-> x = -1.

Отже, похідна звертається в нуль при x = -1. Виконано необхідна, але недостатня умова критичності. Оскільки x = -1 потрапляє в інтервал (-? - 0) cup- (0- +?), то ця точка є критичною.