ЯК знайти проміжки зростання та спадання функції :: область зростання та спадання функції опреедліть

Визначення проміжків зростання та спадання функції - це один з основних аспектів дослідження поведінки функції поряд із знаходженням точок екстремумів, в яких відбувається перелом від убування до зростання і навпаки.

Інструкція

Функція y = F (x) є зростаючою на певному інтервалі, якщо для будь-яких точок x1 < x2 этого интервала выполняется условие F(x1) < F(x2). Т.е. чем больше значение аргумента, тем больше значение функции. Для убывающей функции справедливо F(x1) > F (x2), де x1 завжди> x2 для будь-яких точок на інтервалі.

Існують достатні ознаки зростання та спадання функції, які випливають з результату обчислення похідної. Якщо похідна функції позитивна для будь-якої точки інтервалу, то функція зростає, якщо негативна - убуває.

Щоб знайти проміжки зростання та спадання функції, потрібно знайти область її визначення, обчислити похідну, вирішити нерівності виду F '(x)> 0 і F' (x) < 0, а затем включить в полученный интервал пограничные точки, в которых функция непрерывна и определена и исключить те, в которых ее значение не может быть определено.

Розглянемо приклад.
Знайти проміжки зростання і спадання функції для y = (3middot-xsup2- + 2middot-x - 4) / xsup2-.

Рішення.
1. Знайдемо область визначення функції. Очевидно, що вираз, що стоїть в знаменнику, повинно завжди бути відмінним від нуля. Тому точка 0 виключається з області визначення: функція визначена при x isin- (-? - 0) cup- (0- +?).

2. Обчислимо похідну функції:

y '(x) = ((3middot-xsup2- + 2middot-x - 4)' middot-xsup2- - (3middot-xsup2- + 2middot-x - 4) middot- (xsup2 -) ') / x ^ 4 = ((6middot-x + 2) middot-xsup2- - (3middot-xsup2- + 2middot-x - 4) middot-2middot-x) / x ^ 4 = (6middot-xsup3- + 2middot-xsup2- - 6middot-xsup3- - 4middot-xsup2- + 8middot-x) / x ^ 4 = (8middot-x - 2middot-xsup2- ) / x ^ 4 = 2middot- (4 - x) / xsup3-.

3. Вирішимо нерівності y '> 0 і y' < 0:
(4 - x) / xsup3-> 0;
(4 - x) / xsup3- < 0.

4. Ліва частина нерівності має один дійсний корінь х = 4 і звертається в нескінченність при x = 0. Тому значення x = 4 включається і в проміжок зростання функції, і в проміжок убування, а точка 0 не включається нікуди.
Отже, шукана функція зростає на проміжку x isin- (-? - 0) cup- [2- +?) і убуває при x (0- 2].