ЯК розв'язувати рівняння вищих ступенів :: вирішити рівняння зі ступенями

Рішення більшості рівнянь вищих ступенів не має чіткої формули, як знаходження коренів квадратного рівняння. Однак існує кілька способів приведення, які дозволяють перетворити рівняння вищого ступеня до більш наочному увазі.

Інструкція

Найбільш поширеним методом вирішення рівнянь вищих ступенів є розкладання на множники. Цей підхід являє собою комбінацію підбору цілочисельних коренів, дільників вільного члена, і подальший поділ спільного многочлена на двочлен виду (x - x0).

Наприклад, вирішите рівняння x ^ 4 + xsup3- + 2middot-xsup2- - x - 3 = 0.Решеніе.Свободним членом даного многочлена є -3, отже, його цілочисельними делителями можуть бути числа ± 1 і ± 3. Підставте їх по черзі в рівняння і з'ясуйте, чи вийде тотожність: 1: 1 + 1 + 2 - 1 - 3 = 0.

Отже, перший же гаданий корінь дав правильний результат. Розділіть многочлен рівняння на (x - 1). Розподіл многочленів виконується стовпчиком і відрізняється від звичайного ділення чисел тільки наявністю змінної.

Перепишіть рівняння в новому вигляді (x - 1) middot- (xsup3- + 2middot-xsup2- + 4middot-x + 3) = 0. Найбільший ступінь многочлена зменшилася до третьої. Продовжіть підбір коренів уже для кубічного многочлена: 1: 1 + 2 + 4 + 3? 0--1: -1 + 2 - 4 + 3 = 0.

Другий корінь x = -1. Поділіть кубічний многочлен на вираз (x + 1). Запишіть вийшло рівняння (x - 1) middot- (x + 1) middot- (xsup2- + x + 3) = 0. Ступінь знизилася до другої, отже, рівняння може мати ще два кореня. Щоб знайти їх, вирішите квадратне рівняння: xsup2- + x + 3 = 0D = 1 - 12 = -11

Дискримінант - негативна величина, значить, дійсних коренів у рівняння більше немає. Знайдіть комплексні корені рівняння: x = (-2 + imiddot-v11) / 2 і x = (-2 - imiddot-v11) / 2.

Запишіть відповідь: x1,2 = ± 1 x3,4 = -1/2 ± imiddot-v11 / 2.

Інший метод рішення рівняння вищого ступеня - заміна змінних для приведення його до квадратного. Такий підхід використовується, коли всі ступені рівняння парні, наприклад: x ^ 4 - 13middot-xsup2- + 36 = 0

Це рівняння називається біквадратним. Щоб привести його до квадратного, зробіть заміну y = xsup2-. Тоді: ysup2- - 13middot-y + 36 = 0D = 169 - 4middot-36 = 25y1 = (13 + 5) / 2 = 9- y2 = (13 - 5) / 2 = 4.

Тепер знайдіть коріння вихідного рівняння: x1 = v9 = ± 3 x2 = v4 = ± 2.