ЯК виділити квадрат двочлена :: Метод виділення квадрата двочлена

Метод виділення квадрата двочлена застосовується при спрощення громіздких виразів, а також для вирішення квадратних рівнянь. На практиці його зазвичай комбінують з іншими прийомами, включаючи розкладання на множники, угруповання та ін.

Інструкція

Метод виділення повного квадрата двочлена заснований на використанні двох формул скороченого множення многочленів. Ці формули є окремими випадками Біному Ньютона для другого ступеня і дозволяють спростити шукане вираз так, щоб можна було провести подальше скорочення або розкладання на множники:
(M + n) sup2- = msup2- + 2middot-mmiddot-n + nsup2-;
(M - n) sup2- = msup2- - 2middot-mmiddot-n + nsup2-.

Відповідно до цього методу з вихідного многочлена потрібно виділити квадрати двох одночленів та суму / різниця їх подвійного добутку. Застосування цього методу має сенс, якщо старша ступінь доданків не менш 2. Припустимо, дано завдання розкласти на множники з пониженням ступеня такий вираз:
4middot-y ^ 4 + z ^ 4

Для вирішення завдання потрібно скористатися методом виділення повного квадрата. Отже, вираз складається з двох одночленів зі змінними парному ступеня. Отже, можна позначити кожен з них через m і n:
m = 2middot-ysup2-- n = zsup2-.

Тепер потрібно привести вихідне вираз до виду (m + n) sup2-. У ньому вже присутні квадрати цих доданків, але не вистачає подвійного добутку. Потрібно додати його штучно, а потім відняти:

(2middot-ysup2-) sup2- + 2middot-2middot-ysup2-middot-zsup2- + (zsup2-) sup2- - 2middot-2middot-ysup2- middot-zsup2- = (2middot-ysup2- + zsup2-) sup2- - 4middot-ysup2-middot-zsup2-.

В отриманому виразі можна побачити формулу різниці квадратів:

(2middot-ysup2- + zsup2-) sup2- - (2middot-ymiddot-z) sup2- = (2middot-ysup2- + zsup2- - 2middot-ymiddot-z) middot- (2middot-ysup2- + zsup2- + 2middot- ymiddot-z).

Отже, метод складається з двох етапів: виділення одночленів повного квадрата m і n, додаток і віднімання їх подвійного добутку. Метод виділення повного квадрата двочлена може застосовуватися не тільки самостійно, але і в комбінації з іншими методами: винесення за дужки спільного множника, заміна змінної, угруповання доданків та ін.

Приклад 2.
Виділіть повний квадрат у виразі:
4middot-ysup2- + 2middot-ymiddot-z + zsup2-.
Рішення.
4middot-ysup2- + 2middot-ymiddot-z + zsup2- = [m = 2middot-y, n = z] = (2middot-y) sup2- + 2middot-2middot-ymiddot-z + (z) sup2- - 2middot-ymiddot-z = (2middot-y + z) sup2- - 2middot-ymiddot-z.

Метод застосовується при знаходженні коренів квадратного рівняння. Ліва частина рівняння являє собою тричлен виду amiddot-y? + Bmiddot-y + c, де a, b і c - якісь числа, причому a? 0.
amiddot-y? + Bmiddot-y + c = amiddot- (y? + (B / a) middot-y) + c = amiddot- (y? + 2middot- (b / (2middot-a)) middot-y) + c = amiddot - (y? + 2middot- (b / (2middot-a)) middot-y + b? / (4middot-a?)) + c - b? / (4middot-a) = amiddot- (y + b / ( 2middot-a))? - (B? - 4middot-amiddot-c) / (4middot-a).

Ці розрахунки наводять до поняття дискримінанта, який дорівнює (b? - 4middot-amiddot-c) / (4middot-a), а коріння рівняння рівні:
y_1,2 = ± (b / (2 • a)) ± v ((b? - 4middot-amiddot-c) / (4middot-a)).