ЯК знайти спільну множник

Для вирішення рівнянь вищих порядків існує безліч способів. Іноді доцільно поєднувати їх, щоб добитися результату. Наприклад, при розкладанні на множники і угрупуванню часто використовують метод знаходження спільного множника групи двучленной і винесення його за дужки.

Інструкція

Визначення загального множника многочлена потрібно при спрощення громіздких виразів, а також при вирішенні рівнянь вищих ступенів. Цей метод має сенс, якщо ступінь многочлена не нижче другого. При цьому загальним множником може бути не тільки двочлен першого ступеня, але і більш високих ступенів.

Щоб знайти спільну множник доданків многочлена, необхідно виконати ряд перетворень. Найпростіший двочлен або одночлен, який можна винести за дужки, буде одним з коренів многочлена. Очевидно, що у випадку, коли многочлен не має вільного члена, буде невідоме в першого ступеня - корінь многочлена, рівний 0.

Більш складним для пошуку спільного множника є випадок, коли вільний член не дорівнює нулю. Тоді застосовні способи простого підбору або угруповання. Наприклад, нехай всі корені многочлена раціональні, при цьому всі коефіцієнти многочлена - цілі числа: y ^ 4 + 3middot-ysup3- - ysup2- - 9middot-y - 18.

Випишіть всі цілочисельні подільники вільного члена. Якщо у многочлена є раціональні корені, то вони знаходяться серед них. В результаті підбору виходять коріння 2 і -3. Значить, спільними множниками цього многочлена будуть двочлена (y - 2) і (y + 3).

Очевидно, що ступінь залишився многочлена при цьому знизиться з четвертої до другої. Щоб отримати його, проведіть поділ вихідного многочлена послідовно на (y - 2) і (y + 3). Виконується це подібно поділу чисел, в стовпчик.

Метод винесення спільного множника є одним зі складових розкладання на множники. Описаний вище спосіб застосовується, якщо коефіцієнт при старшій ступеня дорівнює 1. Якщо це не так, то спочатку необхідно виконати ряд перетворень. Наприклад: 2ysup3- + 19middot-ysup2- + 41middot-y + 15.

Виконайте заміну виду t = 2sup3-middot-ysup3-. Для цього помножте все коефіцієнти многочлена на 4: 2sup3-middot-ysup3- + 19middot-2sup2-middot-ysup2- + 82middot-2middot-y + 60. Після заміни: tsup3- + 19middot-tsup2- + 82middot-t + 60. Тепер для пошуку спільного множника застосуємо вищеописаний спосіб.

Крім того, ефективним методом пошуку спільного множника є угруповання елементів многочлена. Особливо він корисний, коли перший спосіб не працює, тобто у многочлена немає раціональних коренів. Однак реалізація угруповання не завжди буває очевидною. Наприклад: У многочлена y ^ 4 + 4middot-ysup3- - ysup2- - 8middot-y - 2 немає цілих коренів.

Скористайтеся угрупованням: y ^ 4 + 4middot-ysup3- - ysup2- - 8middot-y - 2 = y ^ 4 + 4middot-ysup3- - 2middot-ysup2- + ysup2- - 8middot-y - 2 = (y ^ 4 - 2middot -ysup2-) + (4middot-ysup3- - 8middot-y) + ysup2- - 2 = (ysup2- - 2) * (ysup2- + 4middot-y + 1) .Загальний множник елементів цього многочлена (ysup2- - 2) .