ЯК обчісліті кріволінійній інтеграл

Кріволінійній інтеграл береться вздовж якої-небудь плоскою або просторової крівої. Для обчислення прійняті формули, Які дійсна при дотріманні питань комерційної торгівлі умів.

Інструкція

Нехай на крівій в декартовій системе координат определена функція F (x, y). Для інтегрування Функції крива розбівається на відрізкі Довжина, блізької до 0. Усередіні шкірного такого відрізка вібіраються точки Mi з координатами xi, yi, візначаються Значення Функції в ціх точках F (Mi) i множаться на довжина ділянок: F (M1) middot-? S1 + F (M2) middot-? s2 + ... F (Mn) middot-? sn =? F (Mi) middot-? si при 1? I? n.

Отримай сума назівається кріволінійної інтегральной сумою. Відповідній інтеграл дорівнює Межі від цієї суми: int-F (x, y) ds = lim? F (Mi) middot-? si = lim? F (xi, yi) middot- radic- ((? Xi) sup2- + (? Yi) sup2-) = lim F (xi, yi) middot-radic- (1 + (? Yi /? Xi) sup2-) middot-? xi = int-F (x, y) middot-radic- (1 + (y ') sup2-) dx.

Прімер.Найдіте кріволінійній інтеграл int-xsup2-middot-yds уздовж Лінії y = ln x при 1? x? e.Решеніе.По формулою: int-xsup2-yds = int-xsup2-middot-radic- (1 + ((ln x) ') sup2-) = int-xsup2-middot-radic- (1 + 1 / xsup2- ) = int-xsup2- middot-radic - ((1 + xsup2 -) / x) = int-xmiddot-radic- (1 + xsup2-) dx = 1 / 2middot-int-radic- (1 + xsup2-) d (1 + xsup2-) =? middot- (1 + x) ^ 3/2 = [1? x? e] = 1 / 3middot - ((1 + esup2 -) ^ 3/2 - 2 ^ 3/2)? 7,16.

Нехай крива задана в параметрічній форме x =? (T), y =? (T). Щоб обчісліті кріволінійній інтеграл, застосуємо Вже відому формулу: int-F (x, y) ds = lim? F (Mi) middot-? si = lim? F (xi, yi) middot-radic - ((? Xi) sup2- + (? Yi) sup2-).

Підставівші Значення x и y, отрімаємо: int-F (x, y) ds = lim? F (? (Ti) ,? (Ti)) middot-radic - (? Sup2- (ti) +? Sup2- (ti)) middot-? Ti = int-F (? (T) ,? (t)) middot-radic - (? Sup2- +? Sup2-) dt.

Прімер.Вічісліте кріволінійній інтеграл int-ysup2-ds, если лінія задана параметрично: x = 5middot-cos t, y = 5middot-sin t при 0? t? ? /2.Решеніе.ds = (25middot-cossup2- t + 25middot-sinsup2- t) dt = 5dt.int-ysup2-ds = int-25middot-sinsup2-tmiddot-5dt = 125 / 2int- (1 - cos 2t) dt = 125 / 2middot- (t - sin 2t / 2) = [0? t? ? / 2] = 125 / 2middot - ((? / 2 - 0) - (0 - 0)) = 125 / 2middot -? / 2 = 125middot -? / 4.