ЯК знаходити інтеграл

Поняття інтеграла безпосередньо пов'язане з поняттям первісної функції. Іншими словами, щоб знайти інтеграл зазначеної функції, потрібно знайти таку функцію, по відношенню до якої вихідна буде похідної.

Інструкція

Інтеграл відноситься до понять математичного аналізу і графічно являє собою площу криволінійної трапеції, обмеженої на осі абсцис граничними точками інтегрування. Знаходити інтеграл функції значно складніше, ніж шукати її похідну.

Існує кілька методів обчислення невизначеного інтеграла: Безпосереднє інтегрування, введення під знак диференціала, метод підстановки, інтегрування по частинах, підстановка Вейерштрасса, теорема Ньютона-Лейбніца та ін.

Безпосереднє інтегрування передбачає приведення за допомогою простих перетворень вихідного інтеграла до табличному значенню. Наприклад: int-dy / (sinsup2-ymiddot-cossup2-y) = int- (cossup2-y + sinsup2-y) / (sinsup2-ymiddot-cossup2-y) dy = int-dy / sinsup2-y + int-dy / cossup2-y = -ctgy + tgy + C.

Метод введення під знак диференціала або заміна змінної являє собою постановку нової змінної. При цьому вихідний інтеграл зводиться до нового інтегралу, який можна перетворити до табличному увазі методом безпосереднього інтегрування: Нехай є інтеграл int-f (y) dy = F (y) + C і деяка змінна v = g (y), тоді: int-f (y) dy -> int-f (v) dv = F (v) + C.

Слід запам'ятати деякі найпростіші підстановки для полегшення роботи з цим методом: dy = d (y + b) -ydy = 1 / 2middot-d (ysup2- + b) -sinydy = - d (cosy) -cosydy = d (siny).

Приклад: int-dy / (1 + 4middot-ysup2-) = int-dy / (1 + (2middot-y) sup2-) = [dy -> d (2middot-y)] = 1 / 2middot-int-d (2middot-y) / (1 + (2middot-y) sup2-) = 1 / 2middot-arctg2middot-y + C.

Інтегрування по частинах проводиться за такою формулою: int-udv = umiddot-v - int-vdu.Прімер: int-ymiddot-sinydy = [u = y- v = siny] = ymiddot - (- cosy) - int - (- cosy) dy = -ymiddot-cosy + siny + C.

Визначений інтеграл в більшості випадків знаходиться за теоремою Ньютона-Лейбніца: int-f (y) dy на інтервалі [a- b] дорівнює F (b) - F (a) .Приклад: Знайдіть int-ymiddot-sinydy на інтервалі [0- 2?]: int-ymiddot-sinydy = [u = y- v = siny] = ymiddot - (- cosy) - int - (- cosy) dy = (-2? middot-cos2? + sin2?) - (-0middot-cos0 + sin0) = -2 ?.