ЯК вирішити невласний інтеграл

Інтегральне числення являє собою досить велику область математики, його методи вирішення використовуються і в інших дисциплінах, наприклад, фізики. Невласні інтеграли є досить складним поняттям, при вивченні якого слід спиратися на хороші базові знання по цій темі.

Інструкція

Невласний інтеграл - це певний інтеграл з межами інтегрування, один або обидва з яких є нескінченними. Інтеграл з нескінченним верхньою межею зустрічається найчастіше. Слід врахувати, що рішення існує далеко не завжди, при цьому подинтегральная функція повинна бути безперервною на інтервалі [a- +?).

На графіку такої невласний інтеграл виглядає як площа криволінійної фігури, не обмеженої з правого боку. Може виникнути думка, що в такому випадку він завжди буде дорівнює нескінченності, однак це вірно тільки якщо інтеграл розходиться. Як це не парадоксально, але за умови збіжності він дорівнює кінцевому числу. Крім того, це число може бути негативним.

Приклад: вирішите невласний інтеграл? Dx / x? на інтервалі [1- +?). Решеніе.Чертеж виконувати необов'язково. Очевидно, що функція 1 / x? неперервна в межах інтегрування. Знайдіть рішення, використовуючи формулу Ньютона-Лейбніца, яка у разі невласного інтеграла трохи видозмінюється:? F (x) dx = lim (F (b) - F (a)) при b>?.? Dx / x? = -lim (1 / x) = -lim (1 / b -1/1) = [1 / b = 0] = - (0 - 1) = 1.

Алгоритм рішення невласних інтегралів з нижнім або двома нескінченним межами інтегрування той же. Наприклад, вирішите? Dx / (x? + 1) на інтервалі (-? - +?). Решеніе.Подинтегральная функція є безперервною на всьому своєму протязі, тому згідно з правилом розкладання інтеграл можна представити у вигляді суми двох інтегралів на інтервалах, відповідно, (-? - 0] і [0- +?). Інтеграл сходиться, якщо зійдуться обидві його частини. Перевірте:? (-? - 0] dx / (x? + 1) = lim_ (a> -?) Artctg x = lim (0 - (arctg a)) = [artg a> -? / 2] = 0 - (-? / 2) =? / 2 -? [0- +?) dx / (x? + 1) = lim_ (b> +?) artctg x = lim (arctg b) = [artg b>? / 2 ] =? / 2-

Обидві половинки інтеграла сходяться, значить, сходиться і він:? (-? - +?) Dx / (x? + 1) =? / 2 +? / 2 =? .Прімечаніе: Якщо хоча б одна з частин розійдеться, то інтеграл не має рішення.