ЯК вирішувати числові ряди :: знайти суму числового ряду

З назви числового ряду очевидно, що це послідовність чисел. Застосовується цей термін в математичному, а також комплексному аналізі як система наближень до чисел. Поняття числового ряду нерозривно пов'язане з поняттям межі, а основною характеристикою є збіжність.

Інструкція

Нехай є числова послідовність виду a_1, a_2, a_3, ..., a_n і деяка послідовність s_1, s_2, ..., s_k, де n і k прагнуть до?, А елементи послідовності s_j являють собою суми деяких членів послідовності a_i. Тоді послідовність a є числовим рядом, а s - послідовністю його часткових сум:
s_j =? a_i, де 1? i? j.

Завдання на рішення числових рядів зводяться до визначення його збіжності. Кажуть, що ряд сходиться, якщо сходиться послідовність його часткових сум і абсолютно сходиться, якщо послідовність модулів його часткових сум сходиться. І навпаки, якщо розходиться послідовність часткових сум ряду, то він розходиться.

Щоб довести збіжність послідовності часткових сум, необхідно перейти до поняття її межі, який називають сумою ряду:
S = lim_n>? ? _ (I = 1) ^ n a_i.

Якщо ця межа існує і він кінцевий, то ряд сходиться. Якщо він не існує або нескінченний, то ряд розходиться. Є ще один необхідний, але не достатній ознака збіжності ряду. Це загальний член ряду a_n. Якщо він прагне до нуля: lim a_i = 0 при I>?, То ряд сходиться. Ця умова розглядають в сукупності з аналізом інших ознак, т.к. воно недостатнє, проте якщо загальний член не прагне до нуля, то ряд однозначно розходиться.

Приклад1.
Визначте відповідність низки 1/3 + 2/5 + 3/7 + ... + n / (2 * n + 1) + ....
Рішення.
Застосуйте необхідний ознака збіжності - чи прагне загальний член до нуля:
lim a_i = lim n / (2 * n + 1) =?.
Отже, a_i? 0, отже, ряд розходиться.

Приклад2.

Визначте відповідність низки 1 +? + 1/3 + ... + 1 / n + ....
Рішення.

Чи прагне загальний член до нуля:
lim 1 / n = 0. Так, прагне, виконаний необхідний ознака збіжності, однак цього недостатньо. Тепер за допомогою межі послідовності сум спробуємо довести, що ряд розходиться:
s_n =? _ (k = 1) ^ n 1 / k = 1 +? + 1/3 + ... + 1 / n. Послідовність сум, хоч і дуже повільно, але очевидно прагне до?, Отже, ряд розходиться.

Ознака збіжності Даламбера.
Нехай існує кінцевий межа відносини наступного і попереднього членів ряду lim (a_ (n + 1) / a_n) = D. Тоді:
D < 1 – ряд сходится;
D> 1 - ряд розходиться;
D = 1 - рішення невизначено, потрібно скористатися додатковою ознакою.

Радикальний ознака збіжності Коші.
Нехай існує кінцевий межа виду lim v (na_n) = D. Тоді:
D < 1 – ряд сходится;
D> 1 - ряд розходиться;
D = 1 - немає однозначної відповіді.

Ці дві ознаки можна використовувати в сукупності, однак ознака Коші сильніший. Існує також інтегральний ознака Коші, згідно з яким для визначення збіжності ряду необхідно знайти відповідний визначений інтеграл. Якщо він сходиться, то сходиться і ряд, і навпаки.