ЯК знаходити межі :: Математика

Як правило, вивчення методології обчислення меж починають з вивчення меж дрібно-раціональних функцій. Далі розглядаються функцій ускладнюються, а також розширюється набір правил і способів роботи з ними (наприклад, правило Лопіталя). Однак не варто забігати вперед, краще, не змінюючи традиції, розглянути питання про межі дрібно-раціональних функцій.

Інструкція

Слід нагадати, що дрібно-раціональної називається функція, що представляє собою відношення двох раціональних функцій: R (x) = Pm (x) / Qn (x) .Здесь Pm (x) = a0x ^ m + a1x ^ (m-1) + ... + a (m-1) x + am- Qn (x) = b0x ^ n + b1x ^ (n-1) + ... + b (n-1) x + bn

Розгляньте питання про межу R (x) на нескінченності. Для цього перетворіть вид Pm (x) і Qn(x).Pm(x)=(x^m)(a0+a1(x^((m-1)-m))+…+a(m-1)(x^(1-m))+am(x^(-m)))=(x^m)(a0+a1(1/x)+…+a(m-1)(1/x^(m-1))+am/(1/x^m).

межі/ Strong "class =" colorbox imagefield imagefield-imagelink "rel =" gallery-step-images "> При х, що прямує до нескінченності, все межі виду 1 / x ^ k (k> 0) звертаються в нуль. Те ж саме можна сказати про Qn (x). Залишилося розібратися з межею відносини (x ^ m) / (x ^ n) = x ^ (mn) на нескінченності. Якщо n> m, він дорівнює нулю, якщо n

Тепер слід припустити, що x прямує до нуля. Якщо застосувати підстановку y = 1 / x і, вважаючи, що an і bm відмінні від нуля, то вийде, що при x, що прагне до нуля, y прагне до нескінченності. Після нескладних перетворень, які ви можете легко виконати самостійно), стає ясно, що правило знаходження межі набуває вигляду (див. Рис. 2).

Більш серйозні завдання виникають при пошуку меж, в яких аргумент прагне до числовим значенням, де знаменник дробу дорівнює нулю. Якщо в цих точках чисельник також дорівнює нулю, то виникають невизначеності типу [0/0], інакше в них знаходиться усувний розрив, і межа буде знайдений. В іншому випадку він не існує (у тому числі і дорівнює нескінченності).

Методологія пошуку межі в даній ситуації наступна. Відомо, що будь многочлен можна представити у вигляді добутку лінійних і квадратичних множників, причому квадратичні множники завжди відмінні від нуля. Лінійні завжди перепишуть у вигляді кx + c = k (xa), де a = -c / k.

При цьому відомо, що якщо х = a - корінь многочлена Pm (x) = a0x ^ m + a1x ^ (m-1) + ... + a (m-1) x + am (тобто рішення рівняння Pm (x) = 0), то Pm (x) = (xa) P (m-1) (x). Якщо при цьому x = a і корінь Qn (х), то Qn (x) = (xa) Q (n-1) (x). Тоді R (x) = Pm (x) / Qn (x) = P (m-1) (x) / Q (n-1) (x).

Коли x = a більше не є коренем хоча б одного з знову отриманих многочленів, то завдання пошуку меж вирішена і lim (x> a) (Pm (x) / Qn (x)) = P (m-1) (a) / Qn (a). Якщо ні, то запропоновану методику слід повторювати аж до усунення невизначеності.