ЯК обчислити межа :: Математика

Теорія меж - Досить велика область математичного аналізу. Це поняття застосовне до функції і являє собою конструкцію з трьох елементів: позначення lim, вираз під знаком межі і граничне значення аргументу.

Інструкція

Щоб обчислити межа, необхідно визначити, чому дорівнює функція в точці, що відповідає граничному значенню аргументу. У деяких випадках задача не має кінцевого рішення, а підстановка значення, до якого прагне змінна, дає невизначеність виду «нуль на нуль» або «нескінченність на нескінченність». У цьому випадку можна застосувати правило, виведене Бернуллі і Лопиталем, яке передбачає взяття першої похідної.

Як і будь-яке інше математичне поняття, межа може містити під своїм знаком вираз функції, занадто громіздке або незручне для простої підстановки. Тоді необхідно перш спростити його, користуючись звичайними методами, наприклад, угруповання, винесення спільного множника і заміна змінної, при якій змінюється і граничне значення аргументу.

Розгляньте приклад, щоб зробити теорію більш наочною. Знайдіть межа функції (2 • x? - 3 • x - 5) / (x + 1) при х, що прямує до 1. Зробіть просту підстановку: (2 • 1? - 3 • 1 - 5) / (1 + 1) = -6/2 = -3.

Вам пощастило, вираз функції має сенс при даному граничному значенні аргументу. Це найпростіший випадок обчислення границі. Тепер вирішите наступне завдання, в якій фігурує неоднозначне поняття нескінченності: lim_ (x>?) (5 - x).

У цьому прикладі x прямує до нескінченності, тобто постійно зростає. У виразі змінна фігурує зі знаком мінус, отже, чим більше значення змінної, тим більше убуває функція. Тому межа в цьому випадку дорівнює - ?.

Правило Бернуллі-Лопіталя: lim_ (x> -2) (x ^ 5 - 4 • x?) / (X? + 2 • х?) = (-32 + 32) / (- 8 + 8) = [0 / 0] .Продіфференціруйте вираз функції: lim (5 • x ^ 4 - 12 • x?) / (3 • x? + 4 • x) = (5 • 16 - 12 • 4) / (3 • 4 - 8) = 8.

Заміна змінної: lim_ (x> 125) (x + 2 •? X) / (x + 5) = [y =? X] = lim_ (y> 5) (y? + 2 • y) / (y? + 3) = (125 + 10) / (125 + 5) = 27/26.