ЯК обчислити межа з прикладами

Функція є одним з фундаментальних математичних понять. Її межа - Це таке значення, при якому аргумент прагне до промежаенной величиною. Обчислити його можна, використовуючи деякі прийоми, наприклад, правило Бернуллі-Лопіталя.

Інструкція

Щоб обчислити межа в заданій точці x0, слід підставити це значення аргументу у вираз функції, що стоїть під знаком lim. Зовсім не обов'язково, щоб ця точка належала області промежаення функції. Якщо межа промежаен і дорівнює однозначного числа, то кажуть, що функція сходиться. Якщо ж він не може бути промежаен, чи нескінченний в конкретній точці, то в наявності розбіжність.

Теорію рішення межаів краще поєднувати з практичними прикладами. Наприклад, знайдіть межа функції: lim (х? - 6 • х - 14) / (2 •? + 3 • х - 6) при х> -2.

Решеніе.Подставьте у вираз значення х = -2: lim (х? - 6 • х - 14) / (2 • х? + 3 • х - 6) = -1/2.

Не завжди рішення є настільки очевидним і простим, особливо якщо вираз занадто громіздке. У цьому випадку спочатку слід спростити його методами скорочення, угруповання або заміни змінної: lim_ (х> -8) (10 • х - 1) / (2 • х +? X) = [у =? X] = lim_ (у> -2) (10 • у? - 1) / (2 • у? + у) = 9/2.

Часто виникають ситуації неможливості промежаення межаа, особливо якщо аргумент прагне до нескінченності або нулю. Підстановка не приносить очікуваного результату, приводячи до неомежаенности виду [0/0] або [? /?]. Тоді застосовно правило Лопіталя-Бернуллі, яке припускає знаходження першої похідної. Наприклад, обчисліть межа lim (х? - 5 • х -14) / (2 • х? + х - 6) при х> -2.

Решеніе.lim (х? - 5 • х -14) / (2 • х? + Х - 6) = [0/0].

Знайдіть похідну: lim (2 • х - 5) / (4 • х + 1) = 9/7.

Для того, щоб полегшити роботу, в деяких випадках можна застосовувати так звані чудові межаи, що представляють собою доведені тотожності. На практиці їх існує декілька, проте найчастіше використовуються два.

lim (sinx / x) = 1 при x> 0, вірно і зворотне: lim (x / sinx) = 1 x> 0.Аргумент може бути будь конструкцією, головне, щоб її значення прагнуло до нуля: lim (x? - 5 • x? + x) / sin (x? - 5 • x? + x) = 1 x> 0.

Другий чудовий межа: Lim (1 + 1 / x) ^ x = e (число Ейлера) при x>?.