ЯК знаходити точку максимуму функції

Точки максимуму функції поряд з точками мінімуму називаються точками екстремуму. У цих точках функція змінює характер поведінки. Екстремуми визначаються на обмежених числових інтервалах і завжди є локальними.

Інструкція

Процес знаходження локальних екстремумів називається дослідженням функції і виконується шляхом аналізу першої та другої похідної функції. Перед початком дослідження переконайтеся, що заданий інтервал значень аргументу належить до допустимих значень. Наприклад, для функції F = 1 / x значення аргументу х = 0 неприпустимо. Або для функції Y = tg (x) аргумент не може мати значення х = 90 °.

Переконайтеся, що функція Y дифференцируема на всьому заданому відрізку. Знайдіть першу похідну Y '. Очевидно, що до досягнення точки локального максимуму функція зростає, а при переході через максимум функція стає спадною. Перша похідна за своїм фізичним змістом характеризує швидкість зміни функції. Поки функція зростає, швидкість цього процесу є величиною позитивною. При переході через локальний максимум функція починає спадати, і швидкість процесу зміни функції стає негативною. Перехід швидкості зміни функції через нуль відбувається в точці локального максимуму.

Отже, на ділянці зростання функції її перша похідна позитивна для всіх значень аргументу на цьому інтервалі. І навпаки - на ділянці спадання функції значення першої похідної менше нуля. У точці локального максимуму значення першої похідної дорівнює нулю. Очевидно, щоб знайти локальний максимум функції, необхідно знайти точку х ?, в якій перша похідна цієї функції дорівнює нулю. При будь-якому значенні аргументу на досліджуваному відрізку х<х? производная должна быть положительной, а при х>х? - Негативною.

Для знаходження х? вирішите рівняння Y '= 0. Значення Y (х?) Буде локальним максимумом, якщо друга похідна функції в цій точці менше нуля. Знайдіть другу похідну Y ", підставте в отриманий вираз значення аргументу х = х? І порівняйте результат обчислень з нулем.

Наприклад, функція Y = -x? + X + 1 на відрізку від -1 до 1 має безперервну похідну Y '= - 2x + 1. При х = 1/2 похідна дорівнює нулю, причому при переході через цю точку похідна змінює знак з «+» на «-». Друга похідна функції Y "= - 2. Побудуйте по точках графік функції Y = -x? + X + 1 і перевірте, чи є точка з абсцисою х = 1/2 локальним максимумом на заданому відрізку числової осі.