ЯК визначити точку екстремуму

Під екстремумами в математиці розуміють мінімальне і максимальне значення певної функції на заданій множині. Точка, в якій функція досягає екстремуму, іменується точкою екстремуму. У практиці математичного аналізу іноді виділяють також поняття локальних мінімумів і максимумів функції.

Інструкція

Знайдіть похідну функції. Наприклад, для функції y = 2x / (x * x + 1) похідна буде обчислюватися наступним чином: y '= (2 (x * x + 1) - 2x * 2x) / (x * x + 1) * (x * x + 1) = (2 - 2x * x) / (x * x + 1) * (x * x + 1).

Прирівняти знайдену похідну до нуля: (2 - 2x * x) / (x * x + 1) * (x * x + 1) = 0-2- 2x * x = 0- (1 - x) (1 + x) = 0.

Визначте значення змінної отриманого виразу, тобто те значення, при якому змінна стає рівною нулю. Для розглянутого прикладу отримаємо: x1 = 1, x2 = -1.

Використовуючи отримані на попередньому кроці значення, розбийте координатну пряму на проміжки. Нанесіть на пряму також точки розриву функції. Сукупність таких точок на осі координат називається точками, «підозрілими» на екстремум. У нашому прикладі пряма буде розбита на три проміжку: від мінус нескінченності до -1- від -1 до 1 від 1 до плюс нескінченності.

Обчисліть, на яких з вийшов проміжків похідна функції буде позитивною, а на яких вона прийме негативне значення. Для цього підставте значення з проміжку в похідну.

Для першого проміжку візьміть, наприклад, значення -2. При цьому похідна буде дорівнювати -0,24. Для другого проміжку візьміть значення 0- похідна функції складе -0,24. Взяте на третьому проміжку значення, рівне 2, дасть похідну -0,24.

Розгляньте послідовно всі проміжки між точками, що з'єднують відрізки. Якщо при проходженні через «підозрілу» точку похідна змінює знак з плюса на мінус, то така точка буде максимумом функції. Якщо має місце зміна знака з мінуса на плюс, перед нами точка мінімуму.

Як ми бачимо з прикладу, проходячи через точку -1, похідна функції змінює знак з мінуса на плюс. Іншими словами, це і є точка мінімуму. При проходженні через 1 знак змінюється з плюса на мінус, тому ми маємо справу з екстремумів, званим точкою максимуму функції.

Обчисліть значення аналізованої функції на кінцях відрізка і знайдених точках екстремуму. Виберіть найменше та найбільше значення.